Calcule as integrais usando uma substituição apropriada.
\int \frac{x^{3}}{\left(5 x^{4}+2\right)^{3}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\displaystyle \int \frac{x^{3}}{(5x^{4}+2)^{3}}\,dx.
O conteúdo principal aqui é integração por substituição, pois o denominador 5x^{4}+2 tem derivada proporcional a x^{3}.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = 5x^{4}+2.
Derivando,
du = 20x^{3}\,dx \quad\Longrightarrow\quad x^{3}\,dx = \frac{1}{20}\,du.

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos
\int \frac{x^{3}}{(5x^{4}+2)^{3}}\,dx = \int \frac{1}{u^{3}}\cdot \frac{1}{20}\,du = \frac{1}{20}\int u^{-3}\,du.

Passo 4

Agora calculamos a integral de u^{-3}:
\int u^{-3}\,du = \frac{u^{-2}}{-2} = -\tfrac{1}{2}u^{-2}.
Multiplicando pelo fator \tfrac{1}{20}, fica
\frac{1}{20}\Bigl(-\tfrac{1}{2}u^{-2}\Bigr) = -\tfrac{1}{40}u^{-2}.

Passo 5

Voltando à variável x, substituímos u=5x^{4}+2 e obtemos
-\frac{1}{40}u^{-2} = -\frac{1}{40(5x^{4}+2)^{2}}.

Resposta

-\frac{1}{40(5x^{4}+2)^{2}} + C

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