Enunciado: Determine o ponto do plano \pi: x-3 y+2 z=0 tal que o módulo da diferença entre suas distâncias a P e Q seja o maior possível.
Pela desigualdade triangular, para qualquer ponto X,|d(X, P)-d(X, Q)| \leq d(P, Q). A igualdade (o valor máximo) ocorre quando X está na reta que passa por P e Q . Portanto, o ponto procurado é a interseção da reta PQ com o plano \pi.
P=(3,0,2), Q=(1,-1,3)
  1. Reta PQ: Vetor diretor \vec{v}=Q-P=(-2,-1,1). Reta X=P+t \vec{v}=(3-2 t,-t, 2+t).
  2. Interseção com \pi : Substituímos as equações na equação do plano.
\begin{gathered} (3-2 t)-3(-t)+2(2+t)=0 \\\\ 3-2 t+3 t+4+2 t=0 \Longrightarrow 3 t+7=0 \Longrightarrow t=-7 / 3 \end{gathered}
  1. Ponto X: X=(3-2(-7 / 3),-(-7 / 3), 2+(-7 / 3))=(3+14 / 3,7 / 3,2-7 / 3)=(23 / 3,7 / 3,-1 / 3).
Solução (a): X=(23 / 3,7 / 3,-1 / 3).

Passo 1

O enunciado pede o ponto X no plano
\pi: x - 3y + 2z = 0
que maximiza \bigl|d(X,P)-d(X,Q)\bigr| com
P=(3,0,2),\quad Q=(1,-1,3).
Pela desigualdade triangular, o valor máximo de \bigl|d(X,P)-d(X,Q)\bigr| ocorre quando X está na reta que passa por P e Q. Logo, basta achar a interseção dessa reta com \pi.

Passo 2

O vetor diretor da reta PQ é
\vec v = Q - P = (-2,\,-1,\,1).
Uma parametrização da reta é
X(t) = P + t\,\vec v = (3 - 2t,\,-t,\;2 + t).

Passo 3

Para achar a interseção com \pi, impomos
x - 3y + 2z = 0
em X(t). Substituindo, vem
(3 - 2t) \;-\; 3(-t) \;+\; 2(2 + t) \;=\; 0
que se simplifica a
3 - 2t + 3t + 4 + 2t = 0 \quad\Longrightarrow\quad 3t + 7 = 0 \quad\Longrightarrow\quad t = -\tfrac{7}{3}.

Passo 4

Substituindo t = -\tfrac{7}{3} em X(t), obtemos
X = \bigl(3 - 2(-\tfrac{7}{3}),\;-(-\tfrac{7}{3}),\;2 + (-\tfrac{7}{3})\bigr) = \bigl(3 + \tfrac{14}{3},\;\tfrac{7}{3},\;\tfrac{6-7}{3}\bigr) = \bigl(\tfrac{23}{3},\;\tfrac{7}{3},\;-\tfrac{1}{3}\bigr).

Resposta

X = \Bigl(\tfrac{23}{3},\;\tfrac{7}{3},\;-\tfrac{1}{3}\Bigr).

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