Enunciado: Determine o ponto do plano
\pi: 2 x-y+z-2=0 tal que a soma de suas distâncias a P e Q seja a menor possível.
O método depende se P e Q estão do mesmo lado ou em lados opostos do plano. Verificamos isso substituindo as coordenadas na expressão do plano
f(x, y, z)=2 x-y+z-2 .
(a)
P=(2,1,0), Q=(1,-1,-1)
f(P)=2(2)-1+0-2=1>0 .
f(Q)=2(1)-(-1)+(-1)-2=2+1-1-2=0 . O ponto Q pertence ao plano.
Como Q já está no plano, a menor soma de distâncias ocorre quando o ponto X é o próprio ponto Q . Solução (a): O ponto é
\mathbf{Q}=(\mathbf{1},-\mathbf{1},-\mathbf{1}) .
(b)
P=(2,1,0), Q=(0,1,1)
f(P)=2(2)-1+0-2=1>0 .
f(Q)=2(0)-1+1-2=-2<0 .
Como os pontos estão em lados opostos do plano, o ponto X que minimiza a soma das distâncias é a interseção do segmento de reta PQ com o plano
\pi .
Reta PQ: O vetor diretor é
\vec{v}=Q-P=(-2,0,1) . A reta é
X=P+t \vec{v}=(2-2 t, 1, t) .
Interseção com
\pi : Substituímos as equações paramétricas na equação do plano.
\begin{gathered} 2(2-2 t)-(1)+(t)-2=0 \\\\ 4-4 t-1+t-2=0 \Longrightarrow-3 t+1=0 \Longrightarrow t=1 / 3 \end{gathered}
Ponto X: Substituindo
t=1 / 3 na equação da reta:
X=(2-2(1 / 3), 1,1 / 3)=(4 / 3,1,1 / 3)
Solução (b): O ponto é
\mathbf{X}=(\mathbf{4} / \mathbf{3}, \mathbf{1}, \mathbf{1} / \mathbf{3}) .
(c)
P=(2,1,0), Q=(1,-1,2)
f(P)=2(2)-1+0-2=1>0 .
f(Q)=2(1)-(-1)+2-2=3>0 .
Como os pontos estão do mesmo lado, devemos refletir um deles ( P ) através do plano. Seja P’ a reflexão de P. O ponto procurado X é a interseção da reta P’Q com o plano.
Reflexão de P: A reta
L que passa por P e é perpendicular a
\pi tem vetor diretor
\vec{n}=(2,-1,1) . L: X=(2,1,0)+t(2,-1,1) . Interseção de
L com
\pi: 2(2+2 t)-(1-t)+(t)-2=0 \Longrightarrow 4+4 t-1+t+t-2=0 \Longrightarrow 6 t+1=0 \Longrightarrow t=-1 / 6 . O ponto de interseção (ponto médio de PP’) é
M=(2-2 / 6,1+1 / 6,-1 / 6)=(5 / 3,7 / 6,-1 / 6) . P^{\prime}=2 M-P=2(5 / 3,7 / 6,-1 / 6)-(2,1,0)=(10 / 3-2,7 / 3-1,-1 / 3-0)=(4 / 3,4 / 3,-1 / 3) .
Reta P’Q: Vetor diretor
\overrightarrow{v^{\prime}}=Q-P^{\prime}=(1-4 / 3,-1-4 / 3,2-(-1 / 3))=(-1 / 3,-7 / 3,7 / 3) . Podemos usar
\overrightarrow{v^{\prime \prime}}=(-1,-7,7) . A reta é
X=Q+s \overrightarrow{v^{\prime \prime}}=(1-s,-1-7 s, 2+7 s) .
Interseção de P’Q com
\pi: 2(1-s)-(-1-7 s)+(2+7 s)-2=0 \quad \Longrightarrow 2-2 s+1+7 s+2+7 s-2=0 \Longrightarrow 12 s+3=0 \Longrightarrow s=-1 / 4 .
Ponto X:
X=(1-(-1 / 4),-1-7(-1 / 4), 2+7(-1 / 4))=(5 / 4,-1+7 / 4,2-7 / 4)=(5 / 4,3 / 4,1 / 4) .
Solução (c): O ponto é
\mathbf{X}=(\mathbf{5} / \mathbf{4}, \mathbf{3} / \mathbf{4}, \mathbf{1} / \mathbf{4}) .