Calcule as integrais usando a substituição indicada.
\int \frac{5 x^{4}}{\left(x^{5}+1\right)^{2}} d x ; u=x^{5}+1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{5 x^{4}}{\bigl(x^{5}+1\bigr)^{2}}\,dx
usando a substituição u = x^{5}+1. O conteúdo aqui é o método de substituição em integrais.

Passo 2

Fazendo a substituição u = x^{5}+1, calculamos a diferencial:
du = 5x^{4}\,dx.

Passo 3

Com isso, a integral em x transforma-se em integral em u:
\int \frac{5 x^{4}}{\bigl(x^{5}+1\bigr)^{2}}\,dx = \int \frac{1}{u^{2}}\,du.

Passo 4

Agora integramos \displaystyle \int u^{-2}\,du. Usando a regra de potência,
\int u^{-2}\,du = \frac{u^{-1}}{-1} + C = -u^{-1} + C.

Passo 5

Por fim, desfazemos a substituição u = x^{5}+1:
-\,u^{-1} + C = -\frac{1}{x^{5}+1} + C.

Resposta

-\frac{1}{x^{5}+1} + C

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