Calcule as integrais pelo Teorema Fundamental do Cálculo:
f(x)=\int_{1}^{x^{7}} e^{t^{3}+1} d t

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=\int_{1}^{x^{7}} e^{t^{3}+1}\,dt.
O que ele pede (implícito pela expressão e pelo enunciado “pelo Teorema Fundamental do Cálculo”) é calcular a derivada de f em relação a x, ou seja, encontrar f'(x).
Informações relevantes fornecidas:
  • A integral é com limite inferior fixo 1 e limite superior dependente de x, igual a x^{7}.
  • O integrando é a função t\mapsto e^{t^{3}+1}.
  • Não se pede a primitiva fechada de e^{t^{3}+1} (que não tem antiderivada elementar simples), mas sim a derivada da integral dependente de x.

Passo 2

Vamos recordar o Teorema Fundamental do Cálculo na forma útil aqui e a regra da cadeia (explicadas com calma).
Teorema Fundamental do Cálculo (forma prática):
Seja G(u)=\displaystyle\int_{a}^{u} g(t)\,dt com g contínua. Então
G'(u)=g(u).
Isto significa que a derivada em relação ao limite superior é simplesmente o integrando avaliado nesse limite superior.
Regra da cadeia (para composição):
Se F(x)=G(h(x)) onde G é diferenciável em h(x) e h é diferenciável, então
F'(x)=G'(h(x))\cdot h'(x).
Interpretação simples: primeiro deriva-se a função exterior avaliando-a na função interior, depois multiplica-se pelo derivado da função interior.
Combinação das duas ideias (caso da integral com limite superior h(x)):
Se f(x)=\displaystyle\int_{a}^{h(x)} g(t)\,dt, então podemos ver f(x)=G(h(x)) com G como acima, logo
f'(x)=g(h(x))\cdot h'(x).
Isso é o que vamos aplicar: o integrando g(t)=e^{t^{3}+1} e o limite superior h(x)=x^{7}.

Passo 3

Aplicando a estratégia passo a passo (sem pular etapas):
  1. Definir a função auxiliar
G(u)=\int_{1}^{u} e^{t^{3}+1}\,dt.
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo temos
G'(u)=e^{u^{3}+1},
pois basta avaliar o integrando no ponto u.
  1. Escrever f como composição:
f(x)=G(x^{7}).
  1. Aplicar a regra da cadeia:
f'(x)=G'(x^{7})\cdot (x^{7})'.
  1. Substituir G'(u) e calcular (x^{7})':
G'(x^{7})=e^{(x^{7})^{3}+1}, \qquad (x^{7})'=7x^{6}.
  1. Juntando:
f'(x)=e^{(x^{7})^{3}+1}\cdot 7x^{6}.

Passo 4

Podemos simplificar a potência no expoente: (x^{7})^{3}=x^{21}. Portanto a expressão final para f'(x) fica mais enxuta.

Resposta

f'(x)=7x^{6}e^{x^{21}+1}

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