Calcule as integrais pelo Teorema Fundamental do Cálculo:
Passo 1
O enunciado nos dá a função
O que ele pede (implícito pela expressão e pelo enunciado “pelo Teorema Fundamental do Cálculo”) é calcular a derivada de
em relação a
, ou seja, encontrar
.
Informações relevantes fornecidas:
- A integral é com limite inferior fixo
e limite superior dependente de , igual a . - O integrando é a função
. - Não se pede a primitiva fechada de
(que não tem antiderivada elementar simples), mas sim a derivada da integral dependente de .
Passo 2
Vamos recordar o Teorema Fundamental do Cálculo na forma útil aqui e a regra da cadeia (explicadas com calma).
Teorema Fundamental do Cálculo (forma prática):
Seja com
contínua. Então
Seja
Isto significa que a derivada em relação ao limite superior é simplesmente o integrando avaliado nesse limite superior.
Regra da cadeia (para composição):
Se onde
é diferenciável em
e
é diferenciável, então
Se
Interpretação simples: primeiro deriva-se a função exterior avaliando-a na função interior, depois multiplica-se pelo derivado da função interior.
Combinação das duas ideias (caso da integral com limite superior
):
Se , então podemos ver
com
como acima, logo
Se
Isso é o que vamos aplicar: o integrando
e o limite superior
.
Passo 3
Aplicando a estratégia passo a passo (sem pular etapas):
- Definir a função auxiliar
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo temos
pois basta avaliar o integrando no ponto
.
- Escrever
como composição:
- Aplicar a regra da cadeia:
- Substituir
e calcular :
- Juntando:
Passo 4
Podemos simplificar a potência no expoente:
. Portanto a expressão final para
fica mais enxuta.