Calcule as integrais pelo Teorema Fundamental do Cálculo:
f(x)=\int_{1}^{x^{3}} \sqrt[3]{t^{2}+1} d t

Passo 1

Enunciado: f(x)=\int_{1}^{x^{3}} \sqrt[3]{t^{2}+1}\,dt.
O que o enunciado pede: encontrar a derivada f'(x) (ou seja, calcular como f varia em função de x).
Informações relevantes dadas:
  • A integral tem limite inferior fixo 1 e limite superior dependente de x, igual a x^{3}.
  • A função integranda é t \mapsto \sqrt[3]{t^{2}+1}=(t^{2}+1)^{1/3}.

Passo 2

Lembrete do Teorema Fundamental do Cálculo (versão usada aqui) e a ideia por trás:
  • Se definirmos uma função G por
G(u)=\int_{a}^{u} g(t)\,dt,
com g contínua, então o Teorema Fundamental do Cálculo afirma que
G'(u)=g(u).
  • Quando o limite superior da integral é uma função de x, digamos u=h(x), aplicamos a regra da cadeia: se F(x)=\int_{a}^{h(x)} g(t)\,dt, então
F'(x)=g(h(x))\cdot h'(x).
Explicação intuitiva: a derivada de uma integral com limite superior variável avalia a integranda no limite superior e multiplica pela taxa de variação desse limite (isso é a regra da cadeia).

Passo 3

Aplicação ao nosso problema: introduzimos uma função auxiliar H com variável u:
H(u)=\int_{1}^{u} \sqrt[3]{t^{2}+1}\,dt.
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo temos
H'(u)=\sqrt[3]{u^{2}+1}.

Passo 4

Relacionando f e H: note que f(x)=H(x^{3}) porque trocar u por x^{3} dá exatamente a integral do enunciado. Portanto f é composição de H com u=x^{3}.

Passo 5

Agora derivamos f(x)=H(x^{3}) usando a regra da cadeia:
f'(x)=H'(x^{3})\cdot \frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr).
Substituindo H'(u) e \dfrac{d}{dx}(x^{3}) obtemos
f'(x)=\sqrt[3]{(x^{3})^{2}+1}\cdot 3x^{2}.

Passo 6

Simplificação final: (x^{3})^{2}=x^{6}, então
f'(x)=3x^{2}\sqrt[3]{x^{6}+1}.
Pequena verificação intuitiva: se o limite superior fosse x em vez de x^{3}, a derivada seria simplesmente \sqrt[3]{x^{2}+1}; com limite x^{3} multiplicamos por (x^{3})' = 3x^{2}, conforme a regra da cadeia.

Resposta

f'(x)=3x^{2}\sqrt[3]{x^{6}+1}

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