Calcule as integrais pelo Teorema Fundamental do Cálculo:
Passo 1
Enunciado:
.
O que o enunciado pede: encontrar a derivada (ou seja, calcular como
varia em função de
).
O que o enunciado pede: encontrar a derivada
Informações relevantes dadas:
- A integral tem limite inferior fixo
e limite superior dependente de , igual a . - A função integranda é
.
Passo 2
Lembrete do Teorema Fundamental do Cálculo (versão usada aqui) e a ideia por trás:
- Se definirmos uma função
por
com
contínua, então o Teorema Fundamental do Cálculo afirma que
- Quando o limite superior da integral é uma função de
, digamos , aplicamos a regra da cadeia: se , então
Explicação intuitiva: a derivada de uma integral com limite superior variável avalia a integranda no limite superior e multiplica pela taxa de variação desse limite (isso é a regra da cadeia).
Passo 3
Aplicação ao nosso problema: introduzimos uma função auxiliar
com variável
:
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo temos
Passo 4
Relacionando
e
: note que
porque trocar
por
dá exatamente a integral do enunciado. Portanto
é composição de
com
.
Passo 5
Agora derivamos
usando a regra da cadeia:
Substituindo
e
obtemos
Passo 6
Simplificação final:
, então
Pequena verificação intuitiva: se o limite superior fosse
em vez de
, a derivada seria simplesmente
; com limite
multiplicamos por
, conforme a regra da cadeia.