Calcule as integrais pelo Teorema Fundamental do Cálculo:
f(x)=\int_{x}^{2} \frac{1}{1+t^{4}} d t

Passo 1

O enunciado dá a função dependente de x
f(x)=\int_{x}^{2} \frac{1}{1+t^{4}}\,dt.
O que é pedido: calcular a(s) integral(is) “pelo Teorema Fundamental do Cálculo” — aqui isso significa determinar a derivada f'(x) usando o Teorema Fundamental do Cálculo (a integral não tem primitiva elementar simples, então a intenção é obter a derivada de f pela relação entre derivada e integral).
Informações relevantes fornecidas:
  • A integranda é \dfrac{1}{1+t^{4}}.
  • O limite superior da integral é a constante 2 e o limite inferior é a função x (variável).
  • Não há outros números ou parâmetros no enunciado.

Passo 2

Enunciando de forma didática o Teorema Fundamental do Cálculo que vamos usar.
Parte útil do Teorema (forma prática):
  • Se G(x)=\displaystyle\int_{a}^{x} g(t)\,dt e g é contínua num intervalo, então
G'(x)=g(x).
Isto diz: derivar uma integral com limite superior variável dá o integrando avaliado no ponto.
Versão para limites que são funções:
  • Se H(x)=\displaystyle\int_{u(x)}^{v(x)} g(t)\,dt e g é contínua e u,v diferenciáveis, então pela regra da cadeia e pela propriedade da integral
H'(x)=g(v(x))\,v'(x)-g(u(x))\,u'(x).
Explicando: a variação do limite superior contribui com g avaliado nele vezes a variação desse limite; a variação do limite inferior entra com sinal negativo (porque aumentar o limite inferior diminui a área).
Breve exemplo concreto (para fixar): se A(x)=\int_{x}^{1}\sin t\,dt, note que isto é -\int_{1}^{x}\sin t\,dt. Pela regra, A'(x)=-\sin x. Ou usando a fórmula geral com u(x)=x, v(x)=1 (então v'(x)=0), obtemos A'(x)=\sin(1)\cdot 0 - \sin(x)\cdot 1 = -\sin x.

Passo 3

Verificar a hipótese de regularidade do teorema: a função
g(t)=\frac{1}{1+t^{4}}
é contínua para todo t\in\mathbb{R} (denominador nunca zera). Logo podemos aplicar as fórmulas do Teorema Fundamental do Cálculo sem problemas.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao problema. Temos f(x)=\displaystyle\int_{x}^{2} g(t)\,dt com g(t)=\dfrac{1}{1+t^{4}}. Aqui o limite superior é a constante 2 (ou seja v(x)=2 com v'(x)=0) e o limite inferior é u(x)=x (com u'(x)=1). Pela fórmula geral:
f'(x)=g(v(x))\,v'(x)-g(u(x))\,u'(x).
Substituindo v(x)=2, v'(x)=0, u(x)=x, u'(x)=1 e g:
f'(x)=g(2)\cdot 0 - g(x)\cdot 1 = -g(x).
Finalmente, escrevendo g(x),
f'(x)=-\frac{1}{1+x^{4}}.
Observação interpretativa e motivadora: como f'(x) é negativo para todo x, f é estritamente decrescente. Se quiser um valor específico, por exemplo f'(0)=-1 e f'(1)=-\dfrac{1}{2}.

Resposta

f'(x)=-\frac{1}{1+x^{4}}

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