Calcule as integrais pelo Teorema Fundamental do Cálculo:
Passo 1
O enunciado dá a função dependente de
O que é pedido: calcular a(s) integral(is) “pelo Teorema Fundamental do Cálculo” — aqui isso significa determinar a derivada
usando o Teorema Fundamental do Cálculo (a integral não tem primitiva elementar simples, então a intenção é obter a derivada de
pela relação entre derivada e integral).
Informações relevantes fornecidas:
- A integranda é
. - O limite superior da integral é a constante
e o limite inferior é a função (variável). - Não há outros números ou parâmetros no enunciado.
Passo 2
Enunciando de forma didática o Teorema Fundamental do Cálculo que vamos usar.
Parte útil do Teorema (forma prática):
- Se
e é contínua num intervalo, então
Isto diz: derivar uma integral com limite superior variável dá o integrando avaliado no ponto.
Versão para limites que são funções:
- Se
e é contínua e diferenciáveis, então pela regra da cadeia e pela propriedade da integral
Explicando: a variação do limite superior contribui com
avaliado nele vezes a variação desse limite; a variação do limite inferior entra com sinal negativo (porque aumentar o limite inferior diminui a área).
Breve exemplo concreto (para fixar): se
, note que isto é
. Pela regra,
. Ou usando a fórmula geral com
,
(então
), obtemos
.
Passo 3
Verificar a hipótese de regularidade do teorema: a função
é contínua para todo
(denominador nunca zera). Logo podemos aplicar as fórmulas do Teorema Fundamental do Cálculo sem problemas.
Passo 4
Aplicando a fórmula ao problema. Temos
com
. Aqui o limite superior é a constante
(ou seja
com
) e o limite inferior é
(com
). Pela fórmula geral:
Substituindo
,
,
,
e
:
Finalmente, escrevendo
,
Observação interpretativa e motivadora: como
é negativo para todo
,
é estritamente decrescente. Se quiser um valor específico, por exemplo
e
.