Calcule as integrais pelo Teorema Fundamental do Cálculo:
Passo 1
O enunciado nos dá a função definida por uma integral com limite superior dependente de
:
O que a questão pede é calcular a(s) integral(is) pelo Teorema Fundamental do Cálculo — na linguagem usual desse tipo de exercício, isto significa achar a derivada
usando o Teorema Fundamental do Cálculo combinado com a regra da cadeia.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- A integranda é
. - O limite inferior é constante igual a
. - O limite superior é
(i.e. ), que depende de .
Passo 2
Vou lembrar o enunciado do Teorema Fundamental do Cálculo (versão que precisamos) e a regra da cadeia, explicando o significado das letras.
Seja
uma função contínua em torno de
. Defina
O Teorema Fundamental do Cálculo afirma que
é diferenciável e
Aqui:
-
é a variável de integração (dummy), usada apenas dentro da integral; -
é o argumento da função , o ponto até onde se integra; -
é a integranda, uma função contínua de .
Agora, se o limite superior for uma função de
, digamos
, podemos definir
Pela regra da cadeia, a derivada de
em relação a
é
Usando
obtemos a fórmula prática muito usada:
Explicando em palavras: primeiro substitui o argumento
por
na integranda, depois multiplica pela derivada de
.
Passo 3
Verificar hipótese técnica: a fórmula exige que
seja contínua no intervalo relevante.
- Para todo
tem-se , logo . - A função
é contínua para , e a composição com é contínua.
Portantoé contínua em toda reta real, então podemos aplicar a fórmula do Passo 2 sem preocupação.
Passo 4
Aplicando a fórmula ao nosso caso:
- Aqui
. - O limite superior é
.
Pela fórmula,
Sabendo que
, obtemos
Interpretação rápida: o valor instantâneo da variação de
ao variar
é dado pela integranda avaliada no ponto
, vezes a velocidade com que esse ponto (o limite superior) se desloca, que é
.
Passo 5
Alguns exemplos numéricos simples para fixar a ideia:
- Em
: , então . Faz sentido: para perto de o limite superior aumenta muito devagar e a integranda também vale no ponto . - Em
: , então mesmo que . Isso acontece porque o limite superior está no máximo (não varia instantaneamente), então o produto dá zero.