Calcule as integrais pelo Teorema Fundamental do Cálculo:
f(x)=\int_{0}^{\operatorname{sen}(x)} \ln \left(1+t^{4}\right) d t

Passo 1

O enunciado nos dá a função definida por uma integral com limite superior dependente de x:
f(x)=\int_{0}^{\operatorname{sen}(x)} \ln\!\bigl(1+t^{4}\bigr)\,dt.
O que a questão pede é calcular a(s) integral(is) pelo Teorema Fundamental do Cálculo — na linguagem usual desse tipo de exercício, isto significa achar a derivada f'(x) usando o Teorema Fundamental do Cálculo combinado com a regra da cadeia.
Informações relevantes dadas:
  • A integranda é t\mapsto \ln\!\bigl(1+t^{4}\bigr).
  • O limite inferior é constante igual a 0.
  • O limite superior é \operatorname{sen}(x) (i.e. \sin(x)), que depende de x.

Passo 2

Vou lembrar o enunciado do Teorema Fundamental do Cálculo (versão que precisamos) e a regra da cadeia, explicando o significado das letras.
Seja g uma função contínua em torno de u. Defina
G(u)=\int_{0}^{u} g(t)\,dt.
O Teorema Fundamental do Cálculo afirma que G é diferenciável e
G'(u)=g(u).
Aqui:
  • t é a variável de integração (dummy), usada apenas dentro da integral;
  • u é o argumento da função G, o ponto até onde se integra;
  • g(t) é a integranda, uma função contínua de t.
Agora, se o limite superior for uma função de x, digamos u=h(x), podemos definir
F(x)=\int_{0}^{h(x)} g(t)\,dt = G\bigl(h(x)\bigr).
Pela regra da cadeia, a derivada de F em relação a x é
F'(x)=G'\bigl(h(x)\bigr)\cdot h'(x).
Usando G'(u)=g(u) obtemos a fórmula prática muito usada:
\frac{d}{dx}\left(\int_{0}^{h(x)} g(t)\,dt\right)=g\bigl(h(x)\bigr)\,h'(x).
Explicando em palavras: primeiro substitui o argumento t por h(x) na integranda, depois multiplica pela derivada de h(x).

Passo 3

Verificar hipótese técnica: a fórmula exige que g(t)=\ln\!\bigl(1+t^{4}\bigr) seja contínua no intervalo relevante.
  • Para todo t\in\mathbb{R} tem-se t^{4}\ge 0, logo 1+t^{4}>0.
  • A função u\mapsto \ln(u) é contínua para u>0, e a composição com 1+t^{4} é contínua.
    Portanto g(t)=\ln\!\bigl(1+t^{4}\bigr) é contínua em toda reta real, então podemos aplicar a fórmula do Passo 2 sem preocupação.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao nosso caso:
  • Aqui g(t)=\ln\!\bigl(1+t^{4}\bigr).
  • O limite superior é h(x)=\operatorname{sen}(x)=\sin(x).
    Pela fórmula,
f'(x)=g\bigl(h(x)\bigr)\cdot h'(x)=\ln\!\bigl(1+\bigl(\sin(x)\bigr)^{4}\bigr)\cdot\frac{d}{dx}\bigl(\sin(x)\bigr).
Sabendo que \dfrac{d}{dx}\sin(x)=\cos(x), obtemos
f'(x)=\cos(x)\,\ln\!\bigl(1+\sin^{4}(x)\bigr).
Interpretação rápida: o valor instantâneo da variação de f ao variar x é dado pela integranda avaliada no ponto t=\sin(x), vezes a velocidade com que esse ponto (o limite superior) se desloca, que é \cos(x).

Passo 5

Alguns exemplos numéricos simples para fixar a ideia:
  • Em x=0: \sin(0)=0, então f'(0)=\cos(0)\ln(1+0)=1\cdot 0=0. Faz sentido: para x perto de 0 o limite superior aumenta muito devagar e a integranda também vale 0 no ponto t=0.
  • Em x=\tfrac{\pi}{2}: \cos\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=0, então f'\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=0 mesmo que \ln(1+\sin^{4}(\tfrac{\pi}{2}))=\ln 2\neq 0. Isso acontece porque o limite superior está no máximo (não varia instantaneamente), então o produto dá zero.

Resposta

f'(x)=\cos(x)\,\ln\!\bigl(1+\sin^{4}(x)\bigr)

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