Calcule as integrais trigonomêtricas:
integral sin ^2 2 x cos ^2 3 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral sin^22x ,cos^23x ,dx
Isso envolve integrais de potências de senos e cossenos, então vamos usar as fórmulas de redução de potência e as fórmulas produto-para-soma para reescrever o integrando como soma de cossenos simples.

Passo 2

Aplicamos as fórmulas de redução de potência:
sin^22x = 1 - cos4x2, cos^23x = 1 + cos6x2
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sin^22x ,cos^23x = 1 - cos4x2 ;1 + cos6x2 = 14,(1 - cos4x)(1 + cos6x)

Passo 3

Expandimos o produto e transformamos o termo cos4xcos6x via produto-para-soma:
(1 - cos4x)(1 + cos6x) = 1 + cos6x - cos4x - cos4x,cos6x,
cos4x,cos6x = 12l(cos(4x+6x)+cos(4x-6x)r) = 12l(cos10x + cos2xr)
Substituindo,
sin^22x ,cos^23x = 14l(1 + cos6x - cos4x - tfrac12(cos10x+cos2x)r)

Passo 4

Reescrevendo como soma de termos mais simples:
sin^22x ,cos^23x = 14 - cos4x4 + cos6x4 - cos10x8 - cos2x8
Então a integral fica
integral sin^22x ,cos^23x ,dx = integrall(tfrac14 - tfraccos4x4 + tfraccos6x4 - tfraccos10x8 - tfraccos2x8r)dx

Passo 5

Integramos termo a termo usando integralcos(ax),dx = sin(ax)a e integral dx = x:
integral sin^22x ,cos^23x ,dx = x4 - 14cdotsin4x4 + 14cdotsin6x6 - 18cdotsin10x10 - 18cdotsin2x2 + C
Simplificando os coeficientes:
= x4 - sin4x16 + sin6x24 - sin10x80 - sin2x16 + C

Resposta

boxed integral sin^22x ,cos^23x ,dx = x4 - sin4x16 + sin6x24 - sin10x80 - sin2x16 + C

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