Encontre a solução geral das seguintes EDO homogêneas encontrando e fatorando seu polinômio característico (caso seja necessário, use as raízes dadas para fatorar o polinômio característico)
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da EDO homogênea de terceira ordem com coeficientes constantes
O método é assumir solução da forma
, obter o polinômio característico e fatorá-lo para achar as raízes
.
Passo 2
Substituindo
na equação, vem
e como
temos o polinômio característico
Usando a fórmula de diferença de cubos
com
e
, obtém-se a fatoração
Passo 3
Agora achamos as raízes de cada fator:
– Do fator
vem
– Do fator quadrático
aplicamos a fórmula de Bhaskara:
Chamando
temos duas raízes complexas conjugadas.
Passo 4
Como há uma raiz real
e um par de raízes complexas
, a solução geral é
onde
,
e
são constantes arbitrárias.