Encontre a solução geral das seguintes EDO homogêneas encontrando e fatorando seu polinômio característico (caso seja necessário, use as raízes dadas para fatorar o polinômio característico)
64 y^prime prime prime(t)-y(t)=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO homogênea de terceira ordem com coeficientes constantes
64,y'''(t)-y(t)=0
O método é assumir solução da forma y(t)=e^rt, obter o polinômio característico e fatorá-lo para achar as raízes r.

Passo 2

Substituindo y(t)=e^rt na equação, vem
64,r^3e^rt-e^rt=0
e como e^rtneq0 temos o polinômio característico
64r^3-1=0
Usando a fórmula de diferença de cubos a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) com a=4r e b=1, obtém-se a fatoração
64r^3-1=(4r-1)(16r^2+4r+1)

Passo 3

Agora achamos as raízes de cada fator:
– Do fator 4r-1=0 vem
r1=tfrac14
– Do fator quadrático 16r^2+4r+1=0 aplicamos a fórmula de Bhaskara:
r=-4pmraiz4^2-4cdot16cdot12cdot16 =-4pmraiz-4832 =-4pm4,iraiz332 =!-18pm iraiz38
Chamando
r2,3=-tfrac18pm itfracraiz38,
temos duas raízes complexas conjugadas.

Passo 4

Como há uma raiz real r1=tfrac14 e um par de raízes complexas r2,3=-tfrac18pm itfracraiz38, a solução geral é
y(t)=C1,e^tfrac14 t +e^-tfrac18 tl(C2cosl(tfracraiz38tr)+C3sinl(tfracraiz38tr)r),
onde C1, C2 e C3 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(t)=C1,e^tfrac14 t +e^-tfrac18 tl(C2cosl(tfracraiz38tr)+C3sinl(tfracraiz38tr)r)

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