Calcule as integrais trigonométricas indefinidas mostradas abaixo.
\int 15 \operatorname{sen}^{5} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int 15 \operatorname{sen}^{5}x\,dx.
O conteúdo principal aqui é uso de identidades trigonométricas e substituição de variável.

Passo 2

Usamos a identidade \operatorname{sen}^{5}x = \operatorname{sen}^{4}x\operatorname{sen} x = (1 - \cos^{2}x)^{2}\operatorname{sen} x. Logo
\int 15 \operatorname{sen}^{5}x\,dx = 15 \int (1 - \cos^{2}x)^{2}\operatorname{sen} x\,dx.

Passo 3

Fazemos a substituição u = \cos x, logo du = -\operatorname{sen} x\,dx ou \operatorname{sen} x\,dx = -du. Assim
15 \int (1 - \cos^{2}x)^{2}\operatorname{sen} x\,dx = -15 \int (1 - u^{2})^{2}\,du.

Passo 4

Expandimos o integrando:
(1 - u^{2})^{2} = 1 - 2u^{2} + u^{4}.
Logo
-15 \int (1 - u^{2})^{2}\,du = -15 \int \bigl(1 - 2u^{2} + u^{4}\bigr)\,du.

Passo 5

Integramos termo a termo:
-15 \int 1\,du = -15u,\quad -15 \int (-2u^{2})\,du = 30\int u^{2}du = 30\cdot \tfrac{u^{3}}{3}=10u^{3},
-15 \int u^{4}\,du = -15\cdot \tfrac{u^{5}}{5} = -3u^{5}.
Somando tudo, obtemos
-15u +10u^{3} -3u^{5} + C.

Passo 6

Voltando à variável x com u = \cos x, a primitiva é
-15\cos x + 10\cos^{3}x - 3\cos^{5}x + C.

Resposta

\boxed{\int 15 \operatorname{sen}^{5}x\,dx = -15\cos x + 10\cos^{3}x - 3\cos^{5}x + C.}

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