Calcule as integrais trigonométricas indefinidas mostradas abaixo.
\int 15 \operatorname{sen}^{2} x \cos ^{3} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int 15\sin^{2}x\cos^{3}x\,dx.
Este é um caso de potências de seno e cosseno em que o cosseno tem expoente ímpar. Vamos usar a estratégia de separar um fator \cos x para fazer a substituição u=\sin x.

Passo 2

Separe \cos^{3}x = \cos^{2}x\cdot\cos x e use a identidade \cos^{2}x = 1 - \sin^{2}x. Assim,
\int 15\sin^{2}x\cos^{3}x\,dx = \int 15\sin^{2}x\,(1-\sin^{2}x)\,\cos x\,dx.

Passo 3

Faça a substituição
u = \sin x,\quad du = \cos x\,dx.
A integral fica
15\int u^{2}(1 - u^{2})\,du = 15\int \bigl(u^{2} - u^{4}\bigr)\,du.

Passo 4

Calcule a primitiva em u:
15\int (u^{2} - u^{4})\,du = 15\Bigl(\frac{u^{3}}{3} - \frac{u^{5}}{5}\Bigr) + C = 5u^{3} - 3u^{5} + C.

Passo 5

Retorne à variável x usando u=\sin x:
5\sin^{3}x \;-\; 3\sin^{5}x + C.

Resposta

\int 15\sin^{2}x\cos^{3}x\,dx = 5\sin^{3}x - 3\sin^{5}x + C.

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