Calcule as integrais trigonométricas indefinidas mostradas abaixo.
\int \cos ^{4} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\displaystyle \int \cos^{4}x\,dx.
O conteúdo aqui é “integrais trigonométricas de potências pares” e vamos usar a fórmula de redução de potência
\cos^{2}x = \tfrac{1+\cos2x}{2}.

Passo 2

Primeiro escrevemos
\cos^{4}x = \bigl(\cos^{2}x\bigr)^{2}
e substituímos a identidade de redução de potência:
\cos^{4}x = \Bigl(\tfrac{1+\cos2x}{2}\Bigr)^{2}.

Passo 3

Agora expandimos o quadrado:
\Bigl(\tfrac{1+\cos2x}{2}\Bigr)^{2} = \frac{1 + 2\cos2x + \cos^{2}2x}{4}.
Em seguida aplicamos a mesma fórmula em \cos^{2}2x:
\cos^{2}2x = \frac{1+\cos4x}{2}.
Logo,
\cos^{4}x = \frac{1 + 2\cos2x + \tfrac{1+\cos4x}{2}}{4} = \frac{3}{8} + \frac{1}{2}\cos2x + \frac{1}{8}\cos4x.

Passo 4

Reescrevendo a integral em termos dessas parcelas, temos
\int \cos^{4}x\,dx = \int \Bigl(\tfrac{3}{8} + \tfrac{1}{2}\cos2x + \tfrac{1}{8}\cos4x\Bigr)\,dx.
Integramos termo a termo, lembrando que
\displaystyle \int \cos kx\,dx = \frac{1}{k}\sin kx.

Passo 5

Calculando cada parte:
\int \tfrac{3}{8}\,dx = \frac{3}{8}\,x, \quad \int \tfrac{1}{2}\cos2x\,dx = \tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{2}\sin2x = \frac{\sin2x}{4}, \quad \int \tfrac{1}{8}\cos4x\,dx = \tfrac{1}{8}\cdot\tfrac{1}{4}\sin4x = \frac{\sin4x}{32}.
Somando tudo e incluindo a constante de integração C, obtemos o resultado final.

Resposta

\int \cos^{4}x\,dx = \frac{3x}{8} + \frac{\sin2x}{4} + \frac{\sin4x}{32} + C.

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