Calcule as integrais trigonométricas indefinidas mostradas abaixo.
\int \cos ^{6} 3 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral trigonométrica
\int \cos^6(3x)\,dx.
O conteúdo principal aqui é usar identidades de redução de potência (power–reduction) para escrever \cos^6\theta em somas de cossenos de múltiplos de \theta, e em seguida integrar termo a termo.

Passo 2

Usamos a identidade conhecida
\cos^6\theta = \frac{1}{32}\bigl(10 + 15\cos(2\theta) + 6\cos(4\theta) + \cos(6\theta)\bigr).

Passo 3

Substituindo \theta = 3x na identidade, obtemos
\cos^6(3x) = \frac{1}{32}\bigl(10 + 15\cos(6x) + 6\cos(12x) + \cos(18x)\bigr).
Logo
\int \cos^6(3x)\,dx = \frac{1}{32}\int\Bigl(10 + 15\cos(6x) + 6\cos(12x) + \cos(18x)\Bigr)\,dx.

Passo 4

Integramos cada termo separadamente:
\int 10\,dx = 10x, \quad \int \cos(6x)\,dx = \frac{1}{6}\sin(6x), \quad \int \cos(12x)\,dx = \frac{1}{12}\sin(12x), \quad \int \cos(18x)\,dx = \frac{1}{18}\sin(18x).

Passo 5

Multiplicando pelos coeficientes e pelo fator \tfrac1{32}, temos
\int \cos^6(3x)\,dx = \frac{1}{32}\Bigl[ 10x + 15\cdot\frac{\sin(6x)}{6} + 6\cdot\frac{\sin(12x)}{12} + \frac{\sin(18x)}{18} \Bigr] + C.
Simplificando os coeficientes:
\frac{10}{32} = \frac{5}{16},\quad \frac{15}{32\cdot6} = \frac{5}{64},\quad \frac{6}{32\cdot12} = \frac{1}{64},\quad \frac{1}{32\cdot18} = \frac{1}{576},
ficando
\int \cos^6(3x)\,dx = \frac{5}{16}\,x + \frac{5}{64}\sin(6x) + \frac{1}{64}\sin(12x) + \frac{1}{576}\sin(18x) + C.

Resposta

\boxed{ \int \cos^6(3x)\,dx = \frac{5}{16}\,x + \frac{5}{64}\sin(6x) + \frac{1}{64}\sin(12x) + \frac{1}{576}\sin(18x) + C }.

Exercícios relacionados