Calcule as integrais trigonométricas indefinidas mostradas abaixo.
\int \operatorname{tg}^{4} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \tan^{4}x\,dx
Usaremos identidades trigonométricas e substituição para potências de \tan x.

Passo 2

Aplicamos a identidade
\tan^{2}x = \operatorname{sec}^{2}x - 1
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\tan^{4}x = (\tan^{2}x)^{2} = (\operatorname{sec}^{2}x - 1)^{2} = \operatorname{sec}^{4}x - 2\,\operatorname{sec}^{2}x + 1.

Passo 3

Substituindo na integral e separando termos, temos
\int \tan^{4}x\,dx = \int \operatorname{sec}^{4}x\,dx \;-\; 2\int \operatorname{sec}^{2}x\,dx \;+\; \int 1\,dx.

Passo 4

Para \int \operatorname{sec}^{4}x\,dx, escrevemos \operatorname{sec}^{4}x = \operatorname{sec}^{2}x\cdot\operatorname{sec}^{2}x e fazemos
u = \tan x,\quad du = \operatorname{sec}^{2}x\,dx,\quad \operatorname{sec}^{2}x = 1 + \tan^{2}x = 1 + u^{2}.
Então
\int \operatorname{sec}^{4}x\,dx = \int (1+u^{2})\,du = u + \frac{u^{3}}{3} = \tan x + \frac{\tan^{3}x}{3}.

Passo 5

Os outros termos são diretos:
\displaystyle \int \operatorname{sec}^{2}x\,dx = \tan x
e
\displaystyle \int 1\,dx = x.

Passo 6

Reunindo tudo,
\int \tan^{4}x\,dx = \Bigl(\tan x + \frac{\tan^{3}x}{3}\Bigr) - 2\,\tan x + x + C = \frac{\tan^{3}x}{3} - \tan x + x + C.

Resposta

\int \tan^{4}x\,dx = \frac{\tan^{3}x}{3} \;-\;\tan x \;+\; x \;+\; C.

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