Calcule as integrais trigonométricas indefinidas mostradas abaixo.
\int \operatorname{sen}^{3} 2 \theta \cos ^{4} 2 \theta d \theta

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida de \sin^3 2\theta\cos^4 2\theta em relação a \theta. O conteúdo principal envolve integrais de funções trigonométricas, usando identidades de potências e substituição.

Passo 2

Como o expoente de \sin é ímpar, separo um fator \sin 2\theta e uso a identidade \sin^2 2\theta = 1 - \cos^2 2\theta:
\sin^3 2\theta \cos^4 2\theta = \sin 2\theta \bigl(1 - \cos^2 2\theta\bigr)\cos^4 2\theta = \sin 2\theta \bigl(\cos^4 2\theta - \cos^6 2\theta\bigr).

Passo 3

Faço a substituição u = \cos 2\theta. Então du = -2\sin 2\theta\,d\theta, de onde \sin 2\theta\,d\theta = -\tfrac12\,du. Assim a integral passa a ser
\int \sin^3 2\theta \cos^4 2\theta\,d\theta = \int \bigl(\cos^4 2\theta - \cos^6 2\theta\bigr)\sin 2\theta\,d\theta = -\tfrac12 \int \bigl(u^4 - u^6\bigr)\,du.

Passo 4

Integro em u:
-\tfrac12 \int \bigl(u^4 - u^6\bigr)\,du = -\tfrac12 \Bigl(\frac{u^5}{5} - \frac{u^7}{7}\Bigr) + C = -\frac{u^5}{10} + \frac{u^7}{14} + C.

Passo 5

Volto à variável \theta usando u = \cos 2\theta. A antiderivada final é
-\frac{(\cos 2\theta)^5}{10} + \frac{(\cos 2\theta)^7}{14} + C.

Resposta

-\frac{(\cos 2\theta)^5}{10} + \frac{(\cos 2\theta)^7}{14} + C.

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