Determine se as séries convergem ou divergem.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos (n \pi)}{n \sqrt{n}}

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(n\pi)}{n\sqrt n}
converge ou diverge. O conteúdo é séries numéricas e para resolver vamos usar a identidade trigonométrica \cos(n\pi)=(-1)^n e o teste de séries p (convergência absoluta).

Passo 2

Usamos que \cos(n\pi)=(-1)^n para reescrever a série como
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(n\pi)}{n\sqrt n} =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n\sqrt n} =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^{3/2}}.
Isso mostra que é uma série alternada cujo termo em módulo é 1/n^{3/2}.

Passo 3

Para verificar convergência absoluta, consideramos a série dos valores absolutos
\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^n}{n^{3/2}}\right| =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{3/2}}.
Essa é uma série p com p=\tfrac{3}{2}>1, portanto converge. Como a série original converge absolutamente, ela também converge normalmente.

Resposta

A série converge absolutamente e, portanto, converge.

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