A equação \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=0 é chamada equação de Laplace. As soluções dessa equação (funções que satisfazem tal equação) são ditas funções harmônicas. Verifique se as funções abaixo são funções harmônicas
f(x, y)=x^{3}+3 x y^{2}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
f(x,y)=x^{3}+3xy^{2}
é harmônica, isto é, se satisfaz a equação de Laplace
\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}=0.
Para isso, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem de f.

Passo 2

Calcular a derivada parcial de f em relação a x e em seguida sua segunda derivada:
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{3}+3xy^{2}\bigr) =3x^{2}+3y^{2},
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(3x^{2}+3y^{2}\bigr) =6x.

Passo 3

Calcular a derivada parcial de f em relação a y e em seguida sua segunda derivada:
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{3}+3xy^{2}\bigr) =6xy,
\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(6xy\bigr) =6x.

Passo 4

Somar as derivadas de segunda ordem e verificar se resultam em zero:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} +\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} =6x+6x=12x.
Como esse resultado não é identicamente zero (depende de x), concluímos que f não satisfaz a equação de Laplace.

Resposta

A função f(x,y)=x^{3}+3xy^{2} não é harmônica, pois
\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} +\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}} =12x\neq0.

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