A equação
é chamada equação de Laplace. As soluções dessa equação (funções que satisfazem tal equação) são ditas funções harmônicas. Verifique se as funções abaixo são funções harmônicas
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
é harmônica, isto é, se satisfaz a equação de Laplace
Para isso, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem de
.
Passo 2
Calcular a derivada parcial de
em relação a
e em seguida sua segunda derivada:
Passo 3
Calcular a derivada parcial de
em relação a
e em seguida sua segunda derivada:
Passo 4
Somar as derivadas de segunda ordem e verificar se resultam em zero:
Como esse resultado não é identicamente zero (depende de
), concluímos que
não satisfaz a equação de Laplace.
Resposta
A função
não é harmônica, pois