Calcule as integrais trigonométricas:
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral que envolve funções trigonométricas. O problema é calcular
. Para isso, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas e técnicas de substituição que ajudam a simplificar integrais mais complexas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a cotangente pode ser escrita em termos de seno e cosseno:
. Então, podemos reescrever
como
.
Passo 3
Substituindo na integral, temos:
O próximo passo é simplificar essa expressão.
Passo 4
Vamos simplificar as potências de seno e cosseno:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, vamos usar substituição para facilitar a integração. Vamos deixar
. Então, a derivada de
em relação a
é
. Precisamos reescrever a integral em termos de
.
Passo 6
Observando a integral
, podemos separar uma cosseno para substituir:
Sabemos que
, então:
Passo 7
Substituindo na integral, temos:
Agora, vamos expandir
:
Então, a integral fica:
Passo 8
Agora, podemos integrar termo a termo:
Então, a solução da integral é:
Onde
é a constante de integração.
Passo 9
Agora, voltamos à variável original substituindo
:
Resposta
A integral
é igual a: