Calcule as integrais trigonométricas: integral cot ^5(x) sin ^4(x) d x;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que envolve funções trigonométricas. O problema é calcular . Para isso, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas e técnicas de substituição que ajudam a simplificar integrais mais complexas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a cotangente pode ser escrita em termos de seno e cosseno: . Então, podemos reescrever como .

Passo 3

Substituindo na integral, temos:
integral cot^5(x) sin^4(x) , dx = integral ( cos(x)sin(x) )^5 sin^4(x) , dx
O próximo passo é simplificar essa expressão.

Passo 4

Vamos simplificar as potências de seno e cosseno:
( cos(x)sin(x) )^5 sin^4(x) = cos^5(x)sin^5(x) cdot sin^4(x) = cos^5(x)sin(x)
Então, a integral fica:
integral cos^5(x)sin(x) , dx

Passo 5

Agora, vamos usar substituição para facilitar a integração. Vamos deixar . Então, a derivada de em relação a é . Precisamos reescrever a integral em termos de .

Passo 6

Observando a integral cos^5(x) = cos^4(x) cdot cos(x) = (cos^2(x))^2 cdot cos(x) , podemos separar uma cosseno para substituir:
cos^5(x) , dx = (1 - u^2)^2 cdot du
Sabemos que , então:

Passo 7

Substituindo na integral, temos:
integral (1 - u^2)^2u , du
Agora, vamos expandir (1 - u^2)^2 = 1 - 2u^2 + u^4 :
integral 1 - 2u^2 + u^4u , du = integral ( 1u - 2u + u^3 ) , du
Então, a integral fica:

Passo 8

Agora, podemos integrar termo a termo:
integral 1u , du = ln|u|
integral -2u , du = -u^2
integral u^3 , du = u^44
Então, a solução da integral é:
ln|u| - u^2 + u^44 + C
Onde é a constante de integração.

Passo 9

Agora, voltamos à variável original substituindo ln|sin(x)| - sin^2(x) + sin^4(x)4 + C :

Resposta

A integral ln|sin(x)| - sin^2(x) + sin^4(x)4 + C é igual a:

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