Se a equação diferencial
y'' + 4y = 0, y(0) = 2, y'(0) = 4
determina a posição de um bloco em Movimento Harmônico Simples, tomando como referência a posição de equilíbrio. Determine
(a) A amplitude do movimento do bloco;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial que descreve a posição de um bloco em Movimento Harmônico Simples (MHS). O enunciado é:
Aqui, y representa a posição do bloco em relação à posição de equilíbrio, e MHS é aquele movimento oscilatório tipo mola ou pêndulo. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de equações diferenciais e como elas modelam esse tipo de movimento. Nosso objetivo agora é encontrar a amplitude do movimento, que é a maior distância que o bloco alcança a partir da posição de equilíbrio.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial dada:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação tem a forma:
Onde A e B são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais, e ω é a frequência angular. Comparando com nossa equação original, vemos que:
Então, a solução fica:

Passo 3

Agora, usamos as condições iniciais para encontrar A e B. A primeira condição é y(0) = 2:
Então, A = 2.
A segunda condição é y’(0) = 4. Primeiro, vamos encontrar a derivada de y(t):
Agora, aplicando t = 0:
Então, B = 2.

Passo 4

Com A e B encontrados, a solução completa da equação é:

Passo 5

A amplitude do movimento no MHS é calculada como:
Substituindo A = 2 e B = 2:

Resposta

A amplitude do movimento do bloco é unidades.

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