Considere a EDO
Calcule
.
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial ordinária (EDO) dada:
Esse exercício pertence ao estudo de equações diferenciais e nos pede para calcular o Wronskiano
de duas soluções
e
dessa equação. Para resolver, precisamos entender como encontrar o Wronskiano e aplicar as técnicas de resolução de EDOs.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Wronskiano. O Wronskiano de duas funções
e
é dado por:
Ele nos ajuda a determinar se as soluções
e
são linearmente independentes.
Passo 3
Agora, vamos analisar a EDO dada:
Podemos rearranjar essa equação para facilitar a resolução. Dividindo ambos os lados por
(pressupondo que
):
Passo 4
Notamos que a equação pode ser escrita como uma derivada total. Observe que:
Portanto, a equação original se torna:
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração. Isso nos leva a uma equação diferencial de primeira ordem.
Passo 6
Agora, vamos resolver
. Podemos reescrever isso como:
Essa é uma equação separável. Separando as variáveis:
Passo 7
Integrando ambos os lados:
Resultando em:
Onde
é outra constante de integração.
Passo 8
Resolvendo para
:
Esse é o formato geral das soluções
e
.
Passo 9
Agora, escolhemos duas soluções distintas
e
:
Para que elas sejam soluções independentes, escolheremos diferentes valores para as constantes
e
.
Passo 10
Calculamos as derivadas
e
:
Passo 11
Agora, calculamos o Wronskiano:
Substituindo as expressões encontradas:
Passo 12
Simplificando a expressão:
Observamos que, devido à simetria das soluções, essa expressão se anula, ou seja:
Resposta
O Wronskiano
é igual a zero: