Considere a EDO
y * y'' + (y')^2 = 0
Calcule W[y1, y2](t).

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial ordinária (EDO) dada:
Esse exercício pertence ao estudo de equações diferenciais e nos pede para calcular o Wronskiano de duas soluções e dessa equação. Para resolver, precisamos entender como encontrar o Wronskiano e aplicar as técnicas de resolução de EDOs.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Wronskiano. O Wronskiano de duas funções e é dado por:
Ele nos ajuda a determinar se as soluções e são linearmente independentes.

Passo 3

Agora, vamos analisar a EDO dada:
Podemos rearranjar essa equação para facilitar a resolução. Dividindo ambos os lados por (pressupondo que ):

Passo 4

Notamos que a equação pode ser escrita como uma derivada total. Observe que:
Portanto, a equação original se torna:

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração. Isso nos leva a uma equação diferencial de primeira ordem.

Passo 6

Agora, vamos resolver . Podemos reescrever isso como:
Essa é uma equação separável. Separando as variáveis:

Passo 7

Integrando ambos os lados:
Resultando em:
Onde é outra constante de integração.

Passo 8

Resolvendo para :
Esse é o formato geral das soluções e .

Passo 9

Agora, escolhemos duas soluções distintas e :
Para que elas sejam soluções independentes, escolheremos diferentes valores para as constantes e .

Passo 10

Calculamos as derivadas e :

Passo 11

Agora, calculamos o Wronskiano:
Substituindo as expressões encontradas:

Passo 12

Simplificando a expressão:
Observamos que, devido à simetria das soluções, essa expressão se anula, ou seja:

Resposta

O Wronskiano é igual a zero:

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