Calcule as integrais triplas abaixo.
integral-1^2 integral1^x^2 integral0^x+y(2 x^2 y) d z d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
integralx=-1^2integraly=1^x^2integralz=0^x+y2x^2y;dz,dy,dx
O conteúdo é aplicação da regra de Fubini para integrais iteradas: vamos primeiro integrar em z, depois em y e, por fim, em x.

Passo 2

Integramos em z, mantendo x,y fixos:
integral0^x+y2x^2y;dz =2x^2yl[zr]0^x+y =2x^2y,(x+y)

Passo 3

Agora integramos em y:
integraly=1^x^22x^2y,(x+y);dy =2x^2integral1^x^2l(xy+y^2r)dy =2x^2l[xy^22+y^33r]1^x^2
Isso dá, após simplificar,
l[x^3y^2+tfrac23x^2y^3r]1^x^2 =l(x^7+tfrac23x^8r)-l(x^3+tfrac23x^2r)
Portanto o integrando em x fica
f(x)=x^7+tfrac23x^8-x^3-tfrac23x^2

Passo 4

Integramos f(x) de -1 a 2. Um antiderivado é
F(x)=x^88+227x^9-x^44-29x^3
Logo
integral-1^2f(x),dx =F(2)-F(-1)

Passo 5

Calculamos
F(2)=32+102427-4-169=173227, F(-1)=18-227-14+29=5216
Subtraindo,
integral-1^2f(x),dx =173227-5216 =5138

Resposta

5138

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