Encontre a constante c que torna a função abaixo contínua.
f(x)=ccc cx+1 & se & x <= 3 cx^2-1 & se & x>3

Passo 1

Beleza, então temos uma função definida por partes e precisamos encontrar o valor de c que faz essa função ser contínua. Isso está relacionado ao conteúdo de continuidade de funções. Para resolver, vamos garantir que os dois pedaços da função se encontrem direitinho no ponto onde mudam, que nesse caso é quando x = 3.

Passo 2

Para a função ser contínua em x = 3, o limite pela esquerda (quando x se aproxima de 3 por valores menores) deve ser igual ao limite pela direita (quando x se aproxima de 3 por valores maiores). Além disso, esse valor também deve ser igual ao valor da função em x = 3. Então, vamos igualar as duas expressões da função nesse ponto.
Para x <= 3, a função é f(x) = cx + 1.
Para x > 3, a função é f(x) = cx^2 - 1.
Igualando as duas expressões em x = 3:
c cdot 3 + 1 = c cdot 3^2 - 1

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o valor de c.
Primeiro, calcula-se as potências e simplifica a equação:
3c + 1 = 9c - 1
Agora, vamos isolar c. Subtraia 3c de ambos os lados:
1 = 6c - 1
Em seguida, adicione 1 a ambos os lados:
2 = 6c
Por fim, divide ambos os lados por 6 para encontrar c:
c = 26 = 13

Resposta

c = 13

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