Calcule as integrais triplas abaixo:
integral0^pi / 2 integral1^2 integral0^9-r^2 r d z d r d theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
I = integral0^pi/2integral1^2integral0^9-r^2 r ,dz,dr,dtheta
Estamos em coordenadas cilíndricas (variáveis theta, r, z) e vamos integrar em três etapas: primeiro em z, depois em r e por fim em theta.

Passo 2

Integral em z: como r é constante nesse passo,
integral0^9-r^2 r ,dz = rl[zr]0^9-r^2 = r,(9 - r^2)

Passo 3

Integral em r: substituindo o resultado anterior, temos
integral1^2 r,(9 - r^2),dr = integral1^2 l(9r - r^3r),dr
A primitiva é
9r^22 ;-;r^44,
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integral1^2 (9r - r^3),dr =l[9r^22-r^44r]1^2 =l(18-4r)-l(tfrac92-tfrac14r) =14-4,25 =tfrac394

Passo 4

Integral em theta: resta calcular
integral0^pi/2 394 ,dtheta =394;l[thetar]0^pi/2 =394cdotpi2 =39pi8

Resposta

39pi8

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