1. Resolva a equação diferencial dada pelo método das equações exatas:
2 x y d x+\left(x^{2}-1\right) d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
2xy\,dx + (x^2 - 1)\,dy = 0
e pede para resolvê-la pelo método de equações exatas. Vamos tratar M(x,y)=2xy e N(x,y)=x^2-1, verificar se é exata e, em caso afirmativo, encontrar a função potencial \Phi(x,y).

Passo 2

Verificamos a condição de exatidão comparando as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(2xy) = 2x, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x^2 - 1) = 2x.
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Procuramos \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x} = M(x,y) = 2xy.
Integramos em relação a x:
\Phi(x,y) = \int 2xy\,dx = x^2y + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y.

Passo 4

Agora impomos
\frac{\partial \Phi}{\partial y} = x^2 + h'(y) = N(x,y) = x^2 - 1.
Isto implica
h'(y) = -1 \quad\Longrightarrow\quad h(y) = -y + C_1.
Logo
\Phi(x,y) = x^2y - y + C_1.

Resposta

A solução geral, em forma implícita, é
x^2y - y = C,
ou equivalentemente
(x^2 - 1)\,y = C,
onde C é constante arbitrária.

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