Calcule a integral tripla: \iiint_{\mathbb{R}^{3}} \frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}{e^{x^{2}+y^{3}+z^{2}}} d V Passo 1O enunciado pede para calcular a integral \iiint_{\mathbb{R}^{3}} \frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}{e^{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\,dV, ou seja, \iiint_{\mathbb{R}^{3}} \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\;\mathrm{e}^{-\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)}\,dV. O conteúdo aqui é mudança para coordenadas esféricas e uso de integral de tipo Gamma. Passo 2Em coordenadas esféricas tomamos \begin{cases} x = r\sin\varphi\cos\theta,\\\ y = r\sin\varphi\sin\theta,\\\ z = r\cos\varphi, \end{cases} com r\in[0,\infty), \varphi\in[0,\pi] e \theta\in[0,2\pi], e o elemento de volume dV = r^{2}\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta. Nesse sistema temos \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}=r e x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}. Logo o integrando fica \frac{r}{e^{r^{2}}}\;r^{2}\sin\varphi = r^{3}e^{-r^{2}}\sin\varphi. Passo 3A integral separa-se em parte angular e parte radial: \iiint_{\mathbb{R}^{3}}\cdots = \int_{0}^{2\pi}\!d\theta \int_{0}^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi \int_{0}^{\infty}r^{3}e^{-r^{2}}\,dr. Calculamos cada parte: \displaystyle\int_{0}^{2\pi}d\theta = 2\pi. \displaystyle\int_{0}^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi = 2. Para a parte radial, use u=r^{2}\implies du=2r\,dr, então \int_{0}^{\infty}r^{3}e^{-r^{2}}\,dr = \int_{0}^{\infty}r^{2}\,(r\,dr)\,e^{-r^{2}} = \tfrac12\int_{0}^{\infty}u\,e^{-u}\,du = \tfrac12\,\Gamma(2) = \tfrac12\cdot1! = \tfrac12. Multiplicando tudo: 2\pi \times 2 \times \tfrac12 = 2\pi. Resposta 2\pi MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosCalcule as integrais triplas abaixo, usando uma mudança de variáveis conveniente. \iiint z d x d y d z, onde W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 1, z \geq 0\right. e \left.x^{2}+y^{2} \geq 4\right\}\' Calcule \iiint x y z^{2} d x d y d z, onde W é a caixa retangular dada por W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid 0 \leq x \leq 1,-1 \leq y \leq 2,0 \leq z \leq 3\right\}. Resolva a equação diferencial dada pelo método das equações exatas: 2 x y d x+\left(x^{2}-1\right) d y=0 y^{\prime}=2 y+x\left(e^{3 x}-e^{2 x}\right), y(0)=2