Calcule a integral tripla:
\iiint_{\mathbb{R}^{3}} \frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}{e^{x^{2}+y^{3}+z^{2}}} d V

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\iiint_{\mathbb{R}^{3}} \frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}{e^{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\,dV,
ou seja,
\iiint_{\mathbb{R}^{3}} \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\;\mathrm{e}^{-\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)}\,dV.
O conteúdo aqui é mudança para coordenadas esféricas e uso de integral de tipo Gamma.

Passo 2

Em coordenadas esféricas tomamos
\begin{cases} x = r\sin\varphi\cos\theta,\\\ y = r\sin\varphi\sin\theta,\\\ z = r\cos\varphi, \end{cases}
com r\in[0,\infty), \varphi\in[0,\pi] e \theta\in[0,2\pi], e o elemento de volume
dV = r^{2}\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta.
Nesse sistema temos \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}=r e x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}. Logo o integrando fica
\frac{r}{e^{r^{2}}}\;r^{2}\sin\varphi = r^{3}e^{-r^{2}}\sin\varphi.

Passo 3

A integral separa-se em parte angular e parte radial:
\iiint_{\mathbb{R}^{3}}\cdots = \int_{0}^{2\pi}\!d\theta \int_{0}^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi \int_{0}^{\infty}r^{3}e^{-r^{2}}\,dr.
Calculamos cada parte:
  1. \displaystyle\int_{0}^{2\pi}d\theta = 2\pi.
  2. \displaystyle\int_{0}^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi = 2.
  3. Para a parte radial, use u=r^{2}\implies du=2r\,dr, então \int_{0}^{\infty}r^{3}e^{-r^{2}}\,dr = \int_{0}^{\infty}r^{2}\,(r\,dr)\,e^{-r^{2}} = \tfrac12\int_{0}^{\infty}u\,e^{-u}\,du = \tfrac12\,\Gamma(2) = \tfrac12\cdot1! = \tfrac12.
Multiplicando tudo:
2\pi \times 2 \times \tfrac12 = 2\pi.

Resposta

2\pi

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