O município de Smallville contratou um empréstimo de \ 30 milhões para implementar diversos projetos públicos (controle de enchentes, segurança escolar, etc.). A taxa de juros será deõúçá3 % ao ano, pagável ao final de cada ano. Essa dívida será quitada por meio de pagamentos anuais deáíá$5 milhões ao final de cada ano. O Conselho de Supervisores está preocupado com o tempo necessário para quitar a dívida. Quantos anos serão necessários para quitar osõááíãá$ 30$ milhões e os respectivos pagamentos de juros?
n=6,72

Passo 1

O enunciado trata de um empréstimo de \$30 milhões tomado a uma taxa de juros de 3\% ao ano, com amortização por meio de pagamentos anuais de \$5 milhões no final de cada ano. O conteúdo é o cálculo do número de períodos de uma anuidade (pagamentos constantes) sabendo o valor presente, a taxa e a prestação.

Passo 2

A fórmula do valor presente PV de uma anuidade com pagamento R ao final de cada período e taxa i é
PV = R \,\frac{1 - (1+i)^{-n}}{i}.

Passo 3

Substituindo PV = 30, R = 5 e i = 0,03 na fórmula, temos
30 = 5 \,\frac{1 - (1{,}03)^{-n}}{0{,}03}.

Passo 4

Isolamos a parte exponencial:
\frac{1 - (1{,}03)^{-n}}{0{,}03} = \frac{30}{5} = 6 \quad\Longrightarrow\quad 1 - (1{,}03)^{-n} = 6 \times 0{,}03 = 0{,}18
(1{,}03)^{-n} = 1 - 0{,}18 = 0{,}82.

Passo 5

Aplicando logaritmo para encontrar n:
-\,n \ln(1{,}03) = \ln(0{,}82) \quad\Longrightarrow\quad n = -\frac{\ln(0{,}82)}{\ln(1{,}03)}.
Numericamente,
n \approx -\frac{-0{,}19845}{0{,}02956} \approx 6{,}72.

Resposta

Serão necessários aproximadamente 6,72 anos para quitar totalmente a dívida.

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