Calcule as integrais triplas:
\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) d z d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)\,dz\,dy\,dx
que é um caso de integrais múltiplas sobre o cubo unitário [0,1]^3. Vamos usar a linearidade da integral e o fato de que a região de integração é um produto de intervalos.

Passo 2

Pela linearidade, podemos separar a integral em três termos:
\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1}(x^{2}+y^{2}+z^{2})\,dz\,dy\,dx = \int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1}x^{2}\,dz\,dy\,dx + \int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1}y^{2}\,dz\,dy\,dx + \int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1}z^{2}\,dz\,dy\,dx.

Passo 3

Cada termo é fácil porque, por exemplo,
\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1}x^{2}\,dz\,dy\,dx = \int_{0}^{1}x^{2}\Bigl(\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1}dz\,dy\Bigr)\,dx = \int_{0}^{1}x^{2}\cdot1\,dx = \int_{0}^{1}x^{2}\,dx = \frac{1}{3}.
De modo idêntico,
\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1}y^{2}\,dz\,dy\,dx = \int_{0}^{1}y^{2}\,dy = \frac{1}{3},
\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1}z^{2}\,dz\,dy\,dx = \int_{0}^{1}z^{2}\,dz = \frac{1}{3}.

Passo 4

Somando os três resultados, a integral total vale
\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=1.

Resposta

1

Exercícios relacionados