Calcule as integrais triplas:
\int_{0}^{1} \int_{x}^{1} \int_{0}^{y-x} d z d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\int_{0}^{1}\int_{x}^{1}\int_{0}^{\,y - x}dz\,dy\,dx
O conteúdo aqui é integração iterada: primeiro a gente integra em z, depois em y e por fim em x.

Passo 2

Integramos em z no intervalo de 0 até y-x. Como a função integrando é 1, temos
\int_{0}^{\,y - x}dz = y - x.
Assim a integral vira
\int_{0}^{1}\int_{x}^{1}(y - x)\,dy\,dx.

Passo 3

Agora calculamos a integral em y. A antiderivada de y - x em relação a y é
\frac{1}{2}y^{2} - x\,y.
Avaliando de y=x até y=1
\Bigl(\tfrac12\cdot1^{2}-x\cdot1\Bigr)\;-\;\Bigl(\tfrac12x^{2}-x\cdot x\Bigr) =\tfrac12 - x \;-\;\bigl(\tfrac12x^{2}-x^{2}\bigr) =\tfrac12 - x + \tfrac12x^{2}.
Portanto ficamos com
\int_{0}^{1}\Bigl(\tfrac12 - x + \tfrac12x^{2}\Bigr)\,dx.

Passo 4

Por fim, integramos em x:
\int_{0}^{1}\!\Bigl(\tfrac12 - x + \tfrac12x^{2}\Bigr)\,dx =\Bigl[\tfrac12x - \tfrac12x^{2} + \tfrac{1}{6}x^{3}\Bigr]_{0}^{1} =\Bigl(\tfrac12 - \tfrac12 + \tfrac{1}{6}\Bigr)-0 =\tfrac{1}{6}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{6}

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