Encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas dadas.
(ENADE 2014) Um problema muito comum em geometria é o das trajetórias ortogonais, o que equivale a dizer que, dada uma curva de uma família, ela intercepta uma curva de outra família de modo que suas tangentes são perpendiculares entre si, no ponto de interseção. Esse problema pode ser abordado, também, pelo cálculo diferencial e integral e, consequentemente, pelas equações diferenciais ordinárias.
Com o auxílio dessas informações, conclui-se que, para \boldsymbol{c} e \boldsymbol{k} números reais não nulos, no plano de coordenadas cartesianas \boldsymbol{x O y}, a família de trajetórias ortogonais à família de hipérboles \boldsymbol{x y}=\boldsymbol{c} é dada por
(A) x-y^{2}=k
(B) x^{2}+y=k
(C) x^{2}-y=k
(D) x^{2}+y^{2}=k
(E) x^{2}-y^{2}=k

Passo 1

O enunciado dá a família de hipérboles definida por
x y = c,
com c\neq0 constante real, e pede as curvas cujo feixe intercepta essas hipérboles ortogonalmente. Vamos usar equações diferenciais: conhecendo a inclinação da família dada, obtemos a inclinação perpendicular e, então, integramos para achar as trajetórias ortogonais.

Passo 2

Começamos achando a equação diferencial da família original. Derivando x y = c em relação a x, obtemos
x\,\frac{dy}{dx} + y = 0
ou seja
\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}.

Passo 3

Para que duas curvas sejam ortogonais, o produto de suas inclinações num ponto comum deve ser -1. Se \displaystyle m_1=-\tfrac{y}{x} é a inclinação da hipérbole, a inclinação da ortogonal é
m_2 = -\frac1{m_1} = -\frac1{-y/x} = \frac{x}{y}.
Logo, a equação diferencial das trajetórias ortogonais é
\frac{dy}{dx} = \frac{x}{y}.

Passo 4

Essa ODE é separável. Separamos e integramos:
y\,dy = x\,dx \quad\Longrightarrow\quad \int y\,dy = \int x\,dx \quad\Longrightarrow\quad \frac{y^2}{2} = \frac{x^2}{2} + K.
Multiplicando por 2 e reorganizando, obtemos
x^2 - y^2 = \underbrace{-2K}_{\displaystyle k},
que é a família procurada.

Resposta

(E) x^2 - y^2 = k

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