Encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas dadas.
(a) \boldsymbol{y}=\boldsymbol{c}_{\boldsymbol{1}} \boldsymbol{x}
(b) \boldsymbol{y}=\boldsymbol{c}_{1} \boldsymbol{x}^{2}
(c) c_{1} x^{2}+y^{2}=1
(d) y=c_{1} e^{-x}
(e) \boldsymbol{y}^{2}=\boldsymbol{c}_{1} \boldsymbol{x}^{3}
(f) y=\frac{x}{1+c_{1} x}

Passo 1

Temos seis famílias de curvas dependentes de um parâmetro \,c_1. Queremos encontrar as trajetórias ortogonais, ou seja, as curvas cujo coeficiente angular em cada ponto é o negativo do recíproco do coeficiente angular da família dada. O procedimento é:
  1. Diferenciar a equação da família para obter \tfrac{dy}{dx} em função de x,y,c_1.
  2. Eliminar c_1 usando a própria equação da família.
  3. Substituir \tfrac{dy}{dx} por -1/(\tfrac{dy}{dx}) para obter a equação diferencial das ortogonais.
  4. Integrar e escrever o resultado em forma implícita.

Passo 2

(a) Família y = c_1x.
Diferenciando,
\frac{dy}{dx}=c_1,
e da própria família c_1 = y/x, logo
\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}.
Para as ortogonais tomamos
\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}.
Separamos e integramos:
y\,dy = -x\,dx \quad\Longrightarrow\quad \frac{y^2}{2} = -\frac{x^2}{2} + K \;\Longrightarrow\; x^2+y^2 = C.

Passo 3

(b) Família y = c_1x^2.
Diferenciando,
\frac{dy}{dx}=2c_1x,
e c_1=y/x^2, então
\frac{dy}{dx}=2\frac{y}{x}.
Ortogonais:
\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{2y}.
Separamos e integramos:
2y\,dy = -x\,dx \quad\Longrightarrow\quad y^2 = -\frac{x^2}{2} + K \;\Longrightarrow\; x^2 + 2y^2 = C.

Passo 4

(c) Família c_1x^2 + y^2 = 1.
Da equação, c_1=(1-y^2)/x^2. Diferenciando 2c_1x +2y\,dy/dx=0
\frac{dy}{dx} = -\frac{c_1x}{y} = -\frac{1-y^2}{x\,y}.
Ortogonais:
\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{\bigl(-\frac{1-y^2}{xy}\bigr)} = \frac{x\,y}{1-y^2}.
Separamos e integramos:
\frac{1-y^2}{y}\,dy = x\,dx \quad\Longrightarrow\quad \int\Bigl(\tfrac1y - y\Bigr)dy = \int x\,dx
\ln|y| - \frac{y^2}{2} = \frac{x^2}{2} + K \;\Longrightarrow\; x^2 + y^2 -2\ln|y| = C.

Passo 5

(d) Família y = c_1e^{-x}.
Aqui c_1 = ye^x. Diferenciando,
\frac{dy}{dx} = -c_1e^{-x} = -y.
Ortogonais:
\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{-y} = \frac1y.
Separamos e integramos:
y\,dy = dx \quad\Longrightarrow\quad \frac{y^2}{2} = x + K \;\Longrightarrow\; y^2 = 2x + C.

Passo 6

(e) Família y^2 = c_1x^3.
Da equação, c_1=y^2/x^3. Diferenciando 2y\,dy/dx = 3c_1x^2
\frac{dy}{dx} = \frac{3c_1x^2}{2y} = \frac{3y}{2x}.
Ortogonais:
\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\tfrac{3y}{2x}} = -\frac{2x}{3y}.
Separamos e integramos:
3y\,dy = -2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad \frac{3y^2}{2} = -x^2 + K \;\Longrightarrow\; 2x^2 + 3y^2 = C.

Passo 7

(f) Família y = \dfrac{x}{1 + c_1x}.
Da equação 1+c_1x = x/y. Diferenciando por x (com c_1 constante):
\frac{dy}{dx} = \frac{1\cdot(1+c_1x) - x\cdot c_1}{(1+c_1x)^2} = \frac1{(1+c_1x)^2} = \frac{y^2}{x^2}.
Ortogonais:
\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{y^2/x^2} = -\frac{x^2}{y^2}.
Separamos e integramos:
y^2\,dy = -x^2\,dx \quad\Longrightarrow\quad \frac{y^3}{3} = -\frac{x^3}{3} + K \;\Longrightarrow\; x^3 + y^3 = C.

Resposta

(a) x^2 + y^2 = C
(b) x^2 + 2y^2 = C
(c) x^2 + y^2 - 2\ln|y| = C
(d) y^2 = 2x + C
(e) 2x^2 + 3y^2 = C
(f) x^3 + y^3 = C

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