Encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas dadas.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Passo 1
Temos seis famílias de curvas dependentes de um parâmetro
. Queremos encontrar as trajetórias ortogonais, ou seja, as curvas cujo coeficiente angular em cada ponto é o negativo do recíproco do coeficiente angular da família dada. O procedimento é:
- Diferenciar a equação da família para obter
em função de . - Eliminar
usando a própria equação da família. - Substituir
por para obter a equação diferencial das ortogonais. - Integrar e escrever o resultado em forma implícita.
Passo 2
(a) Família
.
Diferenciando,
Diferenciando,
e da própria família
, logo
Para as ortogonais tomamos
Separamos e integramos:
Passo 3
(b) Família
.
Diferenciando,
Diferenciando,
e
, então
Ortogonais:
Separamos e integramos:
Passo 4
(c) Família
.
Da equação, . Diferenciando
dá
Da equação,
Ortogonais:
Separamos e integramos:
Passo 5
(d) Família
.
Aqui . Diferenciando,
Aqui
Ortogonais:
Separamos e integramos:
Passo 6
(e) Família
.
Da equação, . Diferenciando
dá
Da equação,
Ortogonais:
Separamos e integramos:
Passo 7
(f) Família
.
Da equação . Diferenciando por
(com
constante):
Da equação
Ortogonais:
Separamos e integramos:
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)