Substitua a integral cartesiana por uma integral equivalente usando mudança polar. Depois calcule a integral polar. \int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}}\left(x^{2}+y^{2}\right) d y d x
Passo 1
O enunciado fornece a integral iterada que queremos calcular:
Ela corresponde à integral da função f(x,y)=x^{2}+y^{2} sobre a região R no primeiro quadrante limitada pelo círculo x^{2}+y^{2}=1. Vamos usar mudança para coordenadas polares, em que
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,
e o elemento de área dA=dx\,dy passa a ser r\,dr\,d\theta.
Passo 2
Precisamos descrever a região R em coordenadas polares. No primeiro quadrante dentro do círculo de raio 1 temos
0 \le r \le 1,\qquad 0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}.
Passo 3
Em coordenadas polares a integranda x^{2}+y^{2} fica r^{2} e o elemento de área traz um fator r. Assim a integral equivalente é
\int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{r=0}^{1} r^{2}\cdot r \,dr\,d\theta =\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{1} r^{3}\,dr\,d\theta.