Substitua a integral cartesiana por uma integral equivalente usando mudança polar. Depois calcule a integral polar.
\int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}}\left(x^{2}+y^{2}\right) d y d x

Passo 1

O enunciado fornece a integral iterada que queremos calcular:
\int_{0}^{1}\int_{0}^{\sqrt{1 - x^{2}}}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dy\,dx
Ela corresponde à integral da função f(x,y)=x^{2}+y^{2} sobre a região R no primeiro quadrante limitada pelo círculo x^{2}+y^{2}=1. Vamos usar mudança para coordenadas polares, em que
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,
e o elemento de área dA=dx\,dy passa a ser r\,dr\,d\theta.

Passo 2

Precisamos descrever a região R em coordenadas polares. No primeiro quadrante dentro do círculo de raio 1 temos
0 \le r \le 1,\qquad 0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}.

Passo 3

Em coordenadas polares a integranda x^{2}+y^{2} fica r^{2} e o elemento de área traz um fator r. Assim a integral equivalente é
\int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{r=0}^{1} r^{2}\cdot r \,dr\,d\theta =\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{1} r^{3}\,dr\,d\theta.

Passo 4

Calculamos primeiro a integral interna em r:
\int_{0}^{1} r^{3}\,dr =\left.\frac{r^{4}}{4}\right|_{0}^{1} =\frac{1}{4}.

Passo 5

Agora integramos em \theta:
\int_{0}^{\pi/2}\frac{1}{4}\,d\theta =\frac{1}{4}\,\biggl(\frac{\pi}{2}-0\biggr) =\frac{\pi}{8}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{8}

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