Calcule as integrais triplas
\int_{-1}^{1} \int_{0}^{2} \int_{0}^{1} x^{2}+y^{2}+z^{2} d x d y d z

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla da função \,f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2} sobre o paralelepípedo definido por
0 \le x \le 1,\quad 0 \le y \le 2,\quad -1 \le z \le 1.
O conteúdo aqui é o uso do Teorema de Fubini e da linearidade das integrais.

Passo 2

Pela linearidade, escrevemos
\int_{z=-1}^{1}\!\int_{y=0}^{2}\!\int_{x=0}^{1}(x^{2}+y^{2}+z^{2})\,dx\,dy\,dz =\int_{z=-1}^{1}\!\int_{y=0}^{2}\!\int_{x=0}^{1}x^{2}\,dx\,dy\,dz +\int_{z=-1}^{1}\!\int_{y=0}^{2}\!\int_{x=0}^{1}y^{2}\,dx\,dy\,dz +\int_{z=-1}^{1}\!\int_{y=0}^{2}\!\int_{x=0}^{1}z^{2}\,dx\,dy\,dz.

Passo 3

Cada termo separa em produtos de integrais unidimensionais:
  1. Para x^{2}:
\int_{0}^{1}x^{2}\,dx=\frac{1}{3},\quad \int_{0}^{2}dy=2,\quad \int_{-1}^{1}dz=2 \quad\Longrightarrow\quad \int x^{2}=\frac{1}{3}\cdot 2\cdot 2=\frac{4}{3}.
  1. Para y^{2}:
\int_{0}^{1}dx=1,\quad \int_{0}^{2}y^{2}\,dy=\frac{2^{3}}{3}=\frac{8}{3},\quad \int_{-1}^{1}dz=2 \quad\Longrightarrow\quad \int y^{2}=1\cdot \frac{8}{3}\cdot 2=\frac{16}{3}.
  1. Para z^{2}:
\int_{0}^{1}dx=1,\quad \int_{0}^{2}dy=2,\quad \int_{-1}^{1}z^{2}\,dz=\frac{2}{3} \quad\Longrightarrow\quad \int z^{2}=1\cdot 2\cdot \frac{2}{3}=\frac{4}{3}.

Passo 4

Somando os três resultados:
\frac{4}{3}+\frac{16}{3}+\frac{4}{3} =\frac{24}{3}=8.

Resposta

O valor da integral tripla é 8.

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