3 A distância entre o ponto A(2,-8) e um ponto Q da bissetriz dos quadrantes pares é 2 \sqrt{5}. Determine o ponto Q .

Passo 1

O enunciado dá o ponto A(2,-8) e pede um ponto Q que pertença à bissetriz dos quadrantes pares (ou seja, à reta y=-x) de modo que a distância entre A e Q seja 2\sqrt5. Para resolver, usaremos a fórmula da distância entre dois pontos no plano e resolveremos a equação resultante.

Passo 2

A bissetriz dos quadrantes pares é a reta
y = -x.
Logo, qualquer ponto Q nessa reta pode ser escrito como
Q(t,\,-t),
com parâmetro real t.

Passo 3

A distância entre A(2,-8) e Q(t,-t) é
\sqrt{(t-2)^2 + \bigl(-t - (-8)\bigr)^2} =\sqrt{(t-2)^2 + (-t+8)^2},
que deve ser igual a 2\sqrt5. Elevando ao quadrado temos:
(t-2)^2 + (-t+8)^2 = \bigl(2\sqrt5\bigr)^2 = 20.

Passo 4

Expandindo e simplificando a equação:
(t-2)^2 + (8-t)^2 = \bigl(t^2 -4t +4\bigr) + \bigl(t^2 -16t +64\bigr) =2t^2 -20t +68 =20,
2t^2 -20t +48 = 0 \quad\Longrightarrow\quad t^2 -10t +24 = 0.
As raízes são
t = \frac{10 \pm \sqrt{100 -96}}{2} = \frac{10 \pm 2}{2} \;\Longrightarrow\; t = 6 \quad\text{ou}\quad t = 4.

Passo 5

Substituindo em Q(t,-t), obtemos os dois pontos possíveis:
Q_1 = (6,\,-6), \qquad Q_2 = (4,\,-4).

Resposta

As soluções para Q são Q = (6,-6) ou Q = (4,-4).

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