( 6 pontos) Uma empreiteira foi contratada para construção de um túnel. É exigência do contratante que o túnel seja retilíneo, que sua parte superior, o teto, tenha o formato de um cilindro parabólico de equação z=10-0,001 x^{2}, onde z e x são medidos em metros, que a pavimentação esteja no plano x y, que tenha 100 metros de comprimento, seja de mão dupla, tenha 60 metros de largura e que o canteiro central que separa a via de mão dupla, esteja sobre o eixo y. O engenheiro responsável pelo projeto solicitou a outro membro de sua equipe a determinação exata do volume desse túnel, para poder determinar a quantidade exata de equipamentos a serem instalados para fornecer ar novo para o túnel, necessário a diluição de poluentes. Utilize integral tripla para calcular o volume, em \mathrm{m}^{3}, desse túnel?

Passo 1

O enunciado pede o volume de um túnel retilíneo cujo teto é um cilindro parabólico, dado por
z = 10 - 0{,}001\,x^2,
com o pavimento no plano z=0. O túnel tem comprimento de 100 m ao longo do eixo y e largura de 60 m, simétrica em torno do eixo y. Vamos usar integral tripla para calcular esse volume.

Passo 2

Descri­mos a região D ocupada pelo túnel em coordenadas (x,y,z):
D = \{(x,y,z)\mid -30\le x\le30,\;0\le y\le100,\;0\le z\le10-0{,}001\,x^2\}.

Passo 3

O volume é dado por
V = \iiint_{D} dV = \int_{y=0}^{100}\int_{x=-30}^{30}\int_{z=0}^{\,10-0{,}001\,x^2} dz\,dx\,dy.

Passo 4

Calcular a integral interna em z:
\int_{0}^{10-0{,}001x^2}dz = \bigl[z\bigr]_{0}^{\,10-0{,}001x^2} = 10 - 0{,}001\,x^2.

Passo 5

Substituindo na integral em x:
\int_{-30}^{30}\bigl(10 - 0{,}001x^2\bigr)\,dx = \left[\,10x - \frac{0{,}001\,x^3}{3}\right]_{-30}^{30} = (300 - 9) - (-300 + 9) = 582.

Passo 6

Por fim, integramos em y:
V = \int_{0}^{100}582\,dy = 582 \times 100 = 58\,200.

Resposta

O volume do túnel é 58\,200; m^{3}.

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