( 6 pontos) Uma empreiteira foi contratada para construção de um túnel. É exigência do contratante que o túnel seja retilíneo, que sua parte superior, o teto, tenha o formato de um cilindro parabólico de equação
, onde
e
são medidos em metros, que a pavimentação esteja no plano
, que tenha 100 metros de comprimento, seja de mão dupla, tenha 60 metros de largura e que o canteiro central que separa a via de mão dupla, esteja sobre o eixo
. O engenheiro responsável pelo projeto solicitou a outro membro de sua equipe a determinação exata do volume desse túnel, para poder determinar a quantidade exata de equipamentos a serem instalados para fornecer ar novo para o túnel, necessário a diluição de poluentes. Utilize integral tripla para calcular o volume, em
, desse túnel?
Passo 1
O enunciado pede o volume de um túnel retilíneo cujo teto é um cilindro parabólico, dado por
com o pavimento no plano
. O túnel tem comprimento de
m ao longo do eixo
e largura de
m, simétrica em torno do eixo
. Vamos usar integral tripla para calcular esse volume.
Passo 2
Descrimos a região
ocupada pelo túnel em coordenadas
:
Passo 3
O volume é dado por
Passo 4
Calcular a integral interna em
:
Passo 5
Substituindo na integral em
:
Passo 6
Por fim, integramos em
:
Resposta
O volume do túnel é
;
.