( 5 pontos) Determine uma equação para o plano tangente da superfície parametrizada no ponto P(1,4,3)
x=u^{2}, \quad y=v^{2}, \quad z=u+v

Passo 1

O enunciado dá a superfície parametrizada por
\mathbf{r}(u,v) = \bigl(u^{2},\,v^{2},\,u+v\bigr)
e pede a equação do plano tangente no ponto P(1,4,3). Vamos precisar de derivadas parciais de \mathbf{r}, do produto vetorial para obter o vetor normal e, finalmente, da forma cartesiana do plano.

Passo 2

Encontrar (u_{0},v_{0}) tal que
u_{0}^{2}=1,\quad v_{0}^{2}=4,\quad u_{0}+v_{0}=3.
As únicas soluções reais são u_{0}=1 e v_{0}=2, pois 1+2=3. Logo \mathbf{r}(1,2)=P.

Passo 3

Calcular os vetores tangentes
\mathbf{r}_{u}(u,v)=\bigl(2u,\,0,\,1\bigr),\quad \mathbf{r}_{v}(u,v)=\bigl(0,\,2v,\,1\bigr).
Em (u_{0},v_{0})=(1,2) temos
\mathbf{r}_{u}(1,2) = (2,0,1), \quad \mathbf{r}_{v}(1,2) = (0,4,1).

Passo 4

O vetor normal ao plano tangente é
\mathbf{n} = \mathbf{r}_{u}(1,2)\times \mathbf{r}_{v}(1,2) = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\[6pt] 2 & 0 & 1 \\[3pt] 0 & 4 & 1 \end{vmatrix} = (-4,\,-2,\,8).
Podemos usar também \mathbf{n}=(2,1,-4), que é proporcional.]

Passo 5

A forma normal do plano em P(1,4,3) é
\mathbf{n}\cdot\bigl(x-1,y-4,z-3\bigr)=0.
Usando \mathbf{n}=(2,1,-4), obtemos
2(x-1)+1(y-4)-4(z-3)=0 \quad\Longrightarrow\quad 2x+y-4z+6=0.

Resposta

A equação do plano tangente é
2x + y - 4z + 6 = 0.

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