Calcule o volume do sólido usando integração tripla.
a) D=(x, y, z) in R^3 ; 0 <= x <= 1,0 <= y <= 1,0 <= z <= 4-x^2-y^2
b) D=(x, y, z) in R^3 ; x^2+4 y^2 <= z <= 1
c) D=(x, y, z) in R^3 ; x^2+y^2 <= z <= 4 x+2 y
d) Sólido intersecção da esfera x^2+y^2+z^2=6 com o parabolóide x^2+y^2 <= z.
e) Sólido delimitado pelo cone elíptico 4 x^2+9 y^2-36 z^2=0 e o plano z=1.
f) Sólido x^2+y^2 <= z <= 4 x+2 y.
g) Sólido delimitado pelo elipsóide x^2a^2+y^2b^2+z^2c^2=1.
h) Sólido compreendido dentro de cilindro x^2+y^2=2 a x, entre o parabolóide x^2+y^2=2 a z e o plano x y.
i) Sólido delimitado pelo parabolóide elíptico 3 x^2+y^2=z e abaixo do cilindro x^2+z=4.
j) Sólido interseção dos conjuntos x^2+y^2 <= 1 e x^2+z^2 <= 1.

Passo 1

O enunciado pede o volume de vários sólidos por integração tripla. Em cada caso vamos:
  1. Identificar a região no plano xy onde existe interseção.
  2. Expressar z entre duas superfícies (ou entre 0 e uma superfície).
  3. Integrar primeiro em z, reduzindo o problema a uma dupla em x,y.
  4. Calcular explicitamente a integral.

Passo 2

Item a:
A região é
D=0<= x<=1,;0<= y<=1,;0<= z<=4-x^2-y^2
Logo
Va =integral0^1!integral0^1!integral0^4-x^2-y^2dz,dy,dx =integral0^1!integral0^1(4-x^2-y^2),dy,dx
Calculando:
integral0^1!integral0^1 4,dy,dx=4, integral0^1!integral0^1 x^2,dy,dx=tfrac13, integral0^1!integral0^1 y^2,dy,dx=tfrac13
Logo
Va=4-tfrac13-tfrac13=tfrac103

Passo 3

Item b:
Temos
D=(x,y):x^2+4y^2<= z<=1,
então a projeção é x^2+4y^2<=1 e
Vb =integral duplax^2+4y^2<=1(1-(x^2+4y^2)),dA
Fazendo u=x,;v=2y com jacobiano tfrac12 e usando coordenadas polares:
Vb =tfrac12integral0^2pi!integral0^1(1-r^2),r,dr,dtheta =tfrac12cdot2picdottfrac14 =tfracpi4

Passo 4

Item c:
A região é
x^2+y^2<= z<=4x+2y Longrightarrow x^2+y^2<=4x+2y Long<=ftrightarrow (u^2+v^2<=5)
após u=x-2,;v=y-1. O integrando fica 5-(u^2+v^2). Em polares:
Vc =integral0^2pi!integral0^raiz5(5-r^2),r,dr,dtheta =2pil[tfrac5r^22-tfracr^44r]0^raiz5 =tfrac25pi2

Passo 5

Item d:
Interseção de x^2+y^2+z^2=6 (hemisfério superior) com z=x^2+y^2. Projetando em polares r^2=x^2+y^2<=2:
Vd =integral0^2pi!integral0^raiz2l(raiz6-r^2-r^2r),r,dr,dtheta =2piintegral0^raiz2(rraiz6-r^2-r^3),dr =tfrac2pi3l(6raiz6-11r)

Passo 6

Item e:
Cone elíptico 4x^2+9y^2=36z^2 z=tfracraiz4x^2+9y^26 e plano z=1. A projeção é 4x^2+9y^2<=36. Com u=2x,;v=3y, jacobiano tfrac16, polares em raio até 6:
Ve =tfrac16integral0^2pi!integral0^6l(1-tfrac r6r)r,dr,dtheta =tfracpi3l[tfracr^22-tfracr^318r]0^6 =2pi

Passo 7

Item f:
É igual ao item c, pois as equações são idênticas. Logo
Vf=tfrac25pi2

Passo 8

Item g:
Interior do elipsóide tfracx^2a^2+tfracy^2b^2+tfracz^2c^2<=1. É bem-saber que
Vg=tfrac43pi,a,b,c

Passo 9

Item h:
Dentro do cilindro (x-a)^2+y^2<= a^2 e entre z=0 e z=x^2+y^22a. Em polares com eixo original:
r<=2acostheta,thetain[-tfracpi2,tfracpi2],
Vh =integral-pi2^pi2!integral0^2acostheta tfracr^22a,r,dr,dtheta =2a^3integral-pi2^pi2cos^4theta,dtheta =tfrac3pi a^34

Passo 10

Item i:
Entre z=3x^2+y^2 (baixo) e z=4-x^2 (cima), com 3x^2+y^2<=4-x^2 Longrightarrow tfracx^21+tfracy^24<=1. Então
Vi =integral duplax^2+4y^2<=4l(4-4x^2-y^2r),dA =4pi

Passo 11

Item j:
Interseção de dois cilindros perpendiculares de raio 1: x^2+y^2<=1 e x^2+z^2<=1. É o sólido de Steinmetz com volume conhecido
Vj=tfrac163

Resposta

(a) tfrac103
(b) tfracpi4
(c) tfrac25pi2
(d) tfrac2pi3l(6raiz6-11r)
(e) 2pi
(f) tfrac25pi2
(g) tfrac43pi,a,b,c
(h) tfrac3pi a^34
(i) 4pi
(j) tfrac163

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