Calcule o volume do sólido usando integração tripla.
a)
b)
c)
d) Sólido intersecção da esfera
com o parabolóide
.
e) Sólido delimitado pelo cone elíptico
e o plano
.
f) Sólido
.
g) Sólido delimitado pelo elipsóide
.
h) Sólido compreendido dentro de cilindro
, entre o parabolóide
e o plano
.
i) Sólido delimitado pelo parabolóide elíptico
e abaixo do cilindro
.
j) Sólido interseção dos conjuntos
e
.
a)
b)
c)
d) Sólido intersecção da esfera
e) Sólido delimitado pelo cone elíptico
f) Sólido
g) Sólido delimitado pelo elipsóide
h) Sólido compreendido dentro de cilindro
i) Sólido delimitado pelo parabolóide elíptico
j) Sólido interseção dos conjuntos
Passo 1
O enunciado pede o volume de vários sólidos por integração tripla. Em cada caso vamos:
- Identificar a região no plano
onde existe interseção. - Expressar
entre duas superfícies (ou entre 0 e uma superfície). - Integrar primeiro em
, reduzindo o problema a uma dupla em . - Calcular explicitamente a integral.
Passo 2
Item a:
A região é
A região é
Logo
Calculando:
Logo
Passo 3
Item b:
Temos
Temos
então a projeção é
e
Fazendo
com jacobiano
e usando coordenadas polares:
Passo 4
Item c:
A região é
A região é
após
. O integrando fica
. Em polares:
Passo 5
Item d:
Interseção de (hemisfério superior) com
. Projetando em polares
:
Interseção de
Passo 6
Item e:
Cone elíptico dá
e plano
. A projeção é
. Com
, jacobiano
, polares em raio até 6:
Cone elíptico
Passo 7
Item f:
É igual ao item c, pois as equações são idênticas. Logo
É igual ao item c, pois as equações são idênticas. Logo
Passo 8
Item g:
Interior do elipsóide . É bem-saber que
Interior do elipsóide
Passo 9
Item h:
Dentro do cilindro e entre
e
. Em polares com eixo original:
Dentro do cilindro
Passo 10
Item i:
Entre (baixo) e
(cima), com
. Então
Entre
Passo 11
Item j:
Interseção de dois cilindros perpendiculares de raio 1: e
. É o sólido de Steinmetz com volume conhecido
Interseção de dois cilindros perpendiculares de raio 1:
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)