solve the heat equation (1) subject to the given conditions. Assume a rod of length L.
u(x, 0)=x(L-x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação do calor! Basicamente, a gente tem uma barra de comprimento $ L $ e quer saber como a temperatura $ u(x, t) $ varia ao longo dela e do tempo. Para isso, vamos precisar usar a equação do calor, que é uma equação diferencial parcial, e considerar as condições de contorno e iniciais que foram dadas. Vamos precisar juntar conhecimentos de equações diferenciais, separação de variáveis e séries de Fourier para chegar à solução.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a equação do calor que estamos resolvendo. Ela é dada por:
partial upartial t = alpha partial^2 upartial x^2
Aqui, $ \alpha $ é a difusividade térmica da barra. Mas, para simplificar, podemos assumir $ \alpha = 1 $ sem perda de generalidade. Então, a equação fica:
alpha

Passo 3

Vamos usar o método de separação de variáveis, que consiste em assumir que a solução $ u(x, t) $ pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende apenas de $ x $ e outra que depende apenas de $ t $:
u(x, t)

Passo 4

Substituindo $ u(x, t) = X(x)T(t) $ na equação do calor, temos:
u(x, t) = X(x)T(t)
Agora, dividindo os dois lados por $ X(x)T(t) $:
X(x) dTdt = T(t) d^2Xdx^2
Como o lado esquerdo depende apenas de $ t $ e o lado direito apenas de $ x $, ambos devem ser iguais a uma constante negativa, digamos $ -\lambda $. Assim, temos duas equações:
X(x)T(t)

Passo 5

Vamos resolver a equação para $ X(x) $:
X(x)
Com as condições de contorno $ u(0, t) = 0 $ e $ u(L, t) = 0 $, temos $ X(0) = 0 $ e $ X(L) = 0 $. As soluções não triviais dessa equação são funções seno, e os possíveis valores de $ \lambda $ são:
d^2Xdx^2 + lambda X = 0
Então, as soluções para $ X_n(x) $ são:
u(0, t) = 0

Passo 6

Agora, resolvemos a equação para $ T(t) $:
T(t)
A solução dessa equação diferencial é:
dTdt = -lambdan T

Passo 7

Logo, cada modo de vibração $ n $ traz uma solução da forma:
n
A solução geral é uma soma infinita desses modos:
un(x, t) = sin( npi xL ) e^-( npiL )^2 t

Passo 8

Para encontrar os coeficientes $ B_n $, usamos a condição inicial $ u(x, 0) = x(L - x) $. Então:
Bn
Para encontrar $ B_n $, multiplicamos ambos os lados por $ \sin\left( \frac{m\pi x}{L} \right) $ e integramos de $ 0 $ a $ L $:
u(x, 0) = x(L - x)
Resolvendo essa integral, encontramos os valores de $ B_n $.

Resposta

A solução da equação do calor para a barra dada é:
u(x, t) = sumn=1^infty ( 8L^2n^3pi^3 [1 - (-1)^n] ) sin( npi xL ) e^-( npiL )^2 t

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