solve the heat equation (1) subject to the given conditions. Assume a rod of length
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação do calor! Basicamente, a gente tem uma barra de comprimento $ L $ e quer saber como a temperatura $ u(x, t) $ varia ao longo dela e do tempo. Para isso, vamos precisar usar a equação do calor, que é uma equação diferencial parcial, e considerar as condições de contorno e iniciais que foram dadas. Vamos precisar juntar conhecimentos de equações diferenciais, separação de variáveis e séries de Fourier para chegar à solução.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a equação do calor que estamos resolvendo. Ela é dada por:
Aqui, $ \alpha $ é a difusividade térmica da barra. Mas, para simplificar, podemos assumir $ \alpha = 1 $ sem perda de generalidade. Então, a equação fica:
Passo 3
Vamos usar o método de separação de variáveis, que consiste em assumir que a solução $ u(x, t) $ pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende apenas de $ x $ e outra que depende apenas de $ t $:
Passo 4
Substituindo $ u(x, t) = X(x)T(t) $ na equação do calor, temos:
Agora, dividindo os dois lados por $ X(x)T(t) $:
Como o lado esquerdo depende apenas de $ t $ e o lado direito apenas de $ x $, ambos devem ser iguais a uma constante negativa, digamos $ -\lambda $. Assim, temos duas equações:
Passo 5
Vamos resolver a equação para $ X(x) $:
Com as condições de contorno $ u(0, t) = 0 $ e $ u(L, t) = 0 $, temos $ X(0) = 0 $ e $ X(L) = 0 $. As soluções não triviais dessa equação são funções seno, e os possíveis valores de $ \lambda $ são:
Então, as soluções para $ X_n(x) $ são:
Passo 6
Agora, resolvemos a equação para $ T(t) $:
A solução dessa equação diferencial é:
Passo 7
Logo, cada modo de vibração $ n $ traz uma solução da forma:
A solução geral é uma soma infinita desses modos:
Passo 8
Para encontrar os coeficientes $ B_n $, usamos a condição inicial $ u(x, 0) = x(L - x) $. Então:
Para encontrar $ B_n $, multiplicamos ambos os lados por $ \sin\left( \frac{m\pi x}{L} \right) $ e integramos de $ 0 $ a $ L $:
Resolvendo essa integral, encontramos os valores de $ B_n $.
Resposta
A solução da equação do calor para a barra dada é: