Calcule as integrais triplas:
integralOmega(3 x+x z) d V
Omega é a região limitada pelo plano y=0, o cilindro x^2+z^2=9 e o plano y+z=3.

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos calcular a integral tripla de f(x,y,z)=3x + xz sobre a região Omega limitada pelos planos y=0, y+z=3 e pelo cilindro x^2+z^2=9. O conteúdo envolvido é integração tripla em coordenadas cartesianas e uso de simetria para simplificar.

Passo 2

Descrição da região de integração: projetando em x!z-plano, a base é o disco x^2+z^2<=9. Para cada ponto (x,z) neste disco, y varia de 0 até 3 - z. Em forma matemática:
D = (x,z)mid x^2+z^2<=9
e
0 <= y <= 3 - z

Passo 3

Montagem da integral iterada: escrevemos
integralOmega(3x + xz),dV = integral duplaD l(integraly=0^3-z (3x + xz),dyr) dA

Passo 4

Integração em y: como 3x + xz não depende de y, obtemos
integraly=0^3-z(3x + xz),dy = (3x + xz)(3 - z)
Logo a integral vira
integral duplaD l(3x(3-z) + xz(3-z)r) dA

Passo 5

Uso da simetria: o domínio D é simétrico em relação ao eixo x=0. Qualquer função da forma x,g(z) tem integral nula sobre um disco centrado na origem. Aqui todos os termos têm fator x, então a integral sobre D é zero.

Passo 6

Conclusão: pela simetria em x, a integral tripla de 3x + xz sobre Omega vale zero.

Resposta

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