Calcule as integrais triplas:
é a região limitada pelo plano
, o cilindro
e o plano
.
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos calcular a integral tripla de
sobre a região
limitada pelos planos
,
e pelo cilindro
. O conteúdo envolvido é integração tripla em coordenadas cartesianas e uso de simetria para simplificar.
Passo 2
Descrição da região de integração: projetando em
-plano, a base é o disco
. Para cada ponto
neste disco,
varia de
até
. Em forma matemática:
e
Passo 3
Montagem da integral iterada: escrevemos
Passo 4
Integração em
: como
não depende de
, obtemos
Logo a integral vira
Passo 5
Uso da simetria: o domínio
é simétrico em relação ao eixo
. Qualquer função da forma
tem integral nula sobre um disco centrado na origem. Aqui todos os termos têm fator
, então a integral sobre
é zero.
Passo 6
Conclusão: pela simetria em
, a integral tripla de
sobre
vale zero.
Resposta
0