Determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
Passo 1
Temos a série
. O conteúdo é séries alternadas, e vamos usar o teste de Leibniz, que exige que os termos
sejam decrescentes e que
.
Passo 2
Calculamos o limite do termo geral:
. Então
Isso mostra que a condição
está satisfeita.
Passo 3
Para ver que
é decrescente, considere a função
para
. Sua derivada é
Logo
decresce.
Passo 4
Pelo teste de Leibniz, como
,
decresce e
, a série alternada converge.
Passo 5
Para verificar que não converge absolutamente, note que para
Como
é a série harmônica divergente, pelo teste da comparação
diverge. Portanto a convergência é condicional.
Resposta
A série converge condicionalmente (convergência alternada pelo teste de Leibniz e diverge em valor absoluto).