Determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
sumn=1^infty(-1)^n-1 1ln (n+1)

Passo 1

Temos a série sumn=1^infty(-1)^n-1,1ln(n+1). O conteúdo é séries alternadas, e vamos usar o teste de Leibniz, que exige que os termos |an| sejam decrescentes e que anto0.

Passo 2

Calculamos o limite do termo geral: an=1/ln(n+1). Então
limntoinfty1ln(n+1)=0
Isso mostra que a condição anto0 está satisfeita.

Passo 3

Para ver que an é decrescente, considere a função f(x)=1/ln(x+1) para x>0. Sua derivada é
f'(x)=-1(x+1)[ln(x+1)]^2<0para todo x>0
Logo an=f(n) decresce.

Passo 4

Pelo teste de Leibniz, como an>0, an decresce e anto0, a série alternada converge.

Passo 5

Para verificar que não converge absolutamente, note que para n>=1
ln(n+1)<= nLongrightarrow 1ln(n+1)>=1n
Como sum1/n é a série harmônica divergente, pelo teste da comparação sum1/ln(n+1) diverge. Portanto a convergência é condicional.

Resposta

A série converge condicionalmente (convergência alternada pelo teste de Leibniz e diverge em valor absoluto).

Exercícios relacionados