Calcule as integrais triplas:
integralOmega z y d V
Omega é a região limitada superiormente pelo plano z=1 e inferiormente pelo cone z=raizx^2+y^2.

Passo 1

Temos que calcular a integral tripla integralOmega z,y,dV onde Omega é a região limitada pelo cone z=raizx^2+y^2 (inferior) e pelo plano z=1 (superior). O conteúdo é cálculo de integrais triplas e usaremos coordenadas cilíndricas para descrever a região de forma mais natural.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas definidas por x=rcostheta, y=rsintheta, z=z, o jacobiano é r. A região Omega torna-se
(r,theta,z)mid 0<= r<=1, 0<=theta<=2pi, r<= z<=1
O integrando z,y vira zcdot(rsintheta) e o elemento de volume é r,dr,dtheta,dz.

Passo 3

A integral fica
integral0^2pi!integral0^1!integralr^1 z,(rsintheta),r,dz,dr,dtheta = integral0^2pi sintheta,dtheta integral0^1 r^2 l(integralr^1 z,dzr) dr
Calculamos a integral em z:
integralr^1 z,dz = [tfracz^22]r^1 = 1-r^22

Passo 4

A integral separa-se em produto de duas integrais e notamos que
integral0^2pisintheta,dtheta = 0
Portanto, toda a integral tripla se anula, resultando em zero.

Resposta

0

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