Determine se as séries abaixo convergem ou divergem.

Passo 1

Primeiro, temos a série de termos positivos sumn=1^infty sinl(1/n^2r). O conteúdo é análise de séries numéricas e vamos usar o teste de comparação direta, aproveitando a desigualdade trigonométrica sin(x) <= x para x >= 0.

Passo 2

Para todo n >= 1 vale xn = 1n^2 >= 0. Como sin(x) <= x quando x >= 0, aplicando com x = 1/n^2 obtemos a desigualdade em bloco:

Passo 3

0 ;<=; sinl(tfrac1n^2r) ;<=; tfrac1n^2

Passo 4

Sabemos que a série p sumn=1^infty tfrac1n^2 converge porque p=2>1. Logo, pela comparação direta, a série sumn=1^infty sin(1/n^2) também converge.

Resposta

A série converge por comparação direta com a série p de p = 2.

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