Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem com amortecimento e um termo forçante tipo impulso de Dirac em t=π, ou seja,
sujeito a
e
. O conteúdo envolve solução da parte homogênea, resposta ao impulso (função de Green) e princípio de superposição.
Passo 2
Primeiro, achamos a solução da equação homogênea associada
. A equação característica é
, cujas raízes são
. Logo a solução geral homogênea é
Aplicando as condições iniciais: em
,
e
leva a
. Assim
Passo 3
Depois, identificamos a resposta ao impulso unitário
, que resolve
com condições nulas. Pela transformada de Laplace ou por conhecimento padrão, obtém-se
onde
é a função degrau de Heaviside.
Passo 4
Como o forçante é
, pela propriedade de deslocamento a resposta particular é
Passo 5
Finalmente, pela superposição, a solução completa é