Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
y^prime prime+2 y^prime+2 y=de

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem com amortecimento e um termo forçante tipo impulso de Dirac em t=π, ou seja, y''+2y'+2y=de sujeito a y(0)=1 e y'(0)=0. O conteúdo envolve solução da parte homogênea, resposta ao impulso (função de Green) e princípio de superposição.

Passo 2

Primeiro, achamos a solução da equação homogênea associada y''+2y'+2y=0. A equação característica é r^2+2r+2=0, cujas raízes são r=-1pm i. Logo a solução geral homogênea é
yh(t)=e^-tl(C1cos t+C2sin tr)
Aplicando as condições iniciais: em t=0, yh(0)=C1=1 e yh'(0)=-(C1)+C2=0 leva a C2=1. Assim
yh(t)=e^-t(cos t+sin t)

Passo 3

Depois, identificamos a resposta ao impulso unitário h(t), que resolve y''+2y'+2y=de com condições nulas. Pela transformada de Laplace ou por conhecimento padrão, obtém-se
h(t)=e^-tsin t,u(t),
onde u(t) é a função degrau de Heaviside.

Passo 4

Como o forçante é de, pela propriedade de deslocamento a resposta particular é
yp(t)=h(t-pi),u(t-pi)=e^-(t-pi)sin(t-pi),u(t-pi)

Passo 5

Finalmente, pela superposição, a solução completa é
y(t)=yh(t)+yp(t)=e^-t(cos t+sin t)+u(t-pi)e^-(t-pi)sin(t-pi)

Resposta

y(t)=e^-t(cos t+sin t)+H(t-pi),e^-(t-pi)sin(t-pi)

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