Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
Passo 1
O enunciado pede para resolver uma equação diferencial linear de segunda ordem com condição inicial e forçamento misto: um impulso de Dirac δ(t) em t=0 e um degrau unitário atrasado u_{2\pi}(t) em t=2π. O conteúdo principal que vamos usar é a transformada de Laplace, explorando: as propriedades L{y’’}, L{y’}, L{δ(t)}=1, L{u_a(t)}=e^{-a s}/s e o teorema do deslocamento no tempo.
Passo 2
Aplicamos a transformada de Laplace na equação
Usando y(0)=0 e y’(0^-)=1 (antes do impulso) obtemos
Reunindo termos,
e portanto
Passo 3
A primeira parcela
invertida dá a solução homogênea forçada pelo impulso em t=0. Sabendo que
temos
Essa parte vale para todo t>0, até a chegada do degrau em 2π.
Passo 4
Para inverter a segunda parcela usamos fração parcial:
Invertemos cada termo:
Assim definimos
Pelo teorema do deslocamento, a parte com
vira
Passo 5
Juntando tudo, a solução completa é
No intervalo 0< t<2\pi temos apenas y(t)=2t e^{-t}, e para t\ge2\pi somamos o termo atrasado pelo degrau.
Passo 6
A teoria usada incluiu a transformada de Laplace para EDOs, tratamento de impulsos via δ(t) (que gera salto em y’) e o teorema do deslocamento para degrau atrasado. Seguimos sem pular etapas para explicar cada transformação.