Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
y^prime prime+2 y^prime+y=de

Passo 1

O enunciado pede para resolver uma equação diferencial linear de segunda ordem com condição inicial e forçamento misto: um impulso de Dirac δ(t) em t=0 e um degrau unitário atrasado u_{2\pi}(t) em t=2π. O conteúdo principal que vamos usar é a transformada de Laplace, explorando: as propriedades L{y’’}, L{y’}, L{δ(t)}=1, L{u_a(t)}=e^{-a s}/s e o teorema do deslocamento no tempo.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace na equação
Ly''+2Ly'+Ly=Lδ(t)+Lu2pi(t)
Usando y(0)=0 e y’(0^-)=1 (antes do impulso) obtemos
(s^2Y(s)-1)+2(sY(s))+Y(s)=1+e^-2pi ss
Reunindo termos,
(s+1)^2Y(s)-1=1+e^-2pi ss
e portanto
Y(s)=2(s+1)^2+e^-2pi ss(s+1)^2

Passo 3

A primeira parcela 2/(s+1)^2 invertida dá a solução homogênea forçada pelo impulso em t=0. Sabendo que
L^-11/(s+1)^2=te^-t,
temos
L^-12/(s+1)^2=2t e^-t
Essa parte vale para todo t>0, até a chegada do degrau em 2π.

Passo 4

Para inverter a segunda parcela usamos fração parcial:
1s(s+1)^2=1s-1s+1-1(s+1)^2
Invertemos cada termo:
L^-11/s=1,
L^-11/(s+1)=e^-t,
L^-11/(s+1)^2=t e^-t
Assim definimos
f(t)=1-e^-t-t e^-t
Pelo teorema do deslocamento, a parte com e^-2pi s vira
u2pi(t),f(t-2pi)

Passo 5

Juntando tudo, a solução completa é
y(t)=2t e^-t+u2pi(t)l[1-e^-(t-2pi)-(t-2pi)e^-(t-2pi)r]
No intervalo 0< t<2\pi temos apenas y(t)=2t e^{-t}, e para t\ge2\pi somamos o termo atrasado pelo degrau.

Passo 6

A teoria usada incluiu a transformada de Laplace para EDOs, tratamento de impulsos via δ(t) (que gera salto em y’) e o teorema do deslocamento para degrau atrasado. Seguimos sem pular etapas para explicar cada transformação.

Resposta

y(t)=2t e^-t+u2pi(t)l[1-e^-(t-2pi)-(t-2pi)e^-(t-2pi)r]

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