Nos exercícios abaixo determine
f(x+h, y)-f(x, y)h e f(x, y+h)-f(x, y)h,
com h neq 0.
f(x, y)=x y^2+3 x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular os quocientes de diferença de f(x,y)=x y²+3x, ou seja, as expressões que aproximam as derivadas parciais em x e em y, usando a definição f(x+De com De.

Passo 2

Vamos primeiro calcular f(x+h,y)-f(x,y)h. Começamos expandindo f(x+h,y):
f(x+h,y)=(x+h)y^2+3(x+h)=x y^2+h y^2+3x+3h
Subtraindo f(x,y)=x y^2+3x e dividindo por h obtemos:
f(x+h,y)-f(x,y)=h(y^2+3)
f(x+h,y)-f(x,y)h=y^2+3

Passo 3

Agora calculamos f(x,y+h)-f(x,y)h. Primeiro, expandimos f(x,y+h):
f(x,y+h)=x(y+h)^2+3x=x(y^2+2yh+h^2)+3x= x y^2+2x y h+x h^2+3x
Subtraindo f(x,y)=x y^2+3x e dividindo por h dá:
f(x,y+h)-f(x,y)=2x y h+x h^2=h(2x y+x h)
f(x,y+h)-f(x,y)h=2xy+xh

Resposta

f(x+h,y)-f(x,y)h=y^2+3 e f(x,y+h)-f(x,y)h=2xy+xh.

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