Calcule as integrais triplas:
é a região limitada pelos planos
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
, onde
é a região limitada pelos planos
,
,
,
e
. O assunto é integração múltipla e vamos precisar usar a descrição de
em coordenadas cartesianas e depois executar a integral iterada.
Passo 2
Para descrever
, observe que de
até
exige
. Como há o plano
, temos
. Nos planos
e
, para cada
fixo
varia de
até
. Assim
Mais formalmente montamos a integral iterada:
Mais formalmente montamos a integral iterada:
Passo 3
Como
não depende de
nem de
, integramos primeiro em
e
:
$$\int_{x=-y}^{y} y,e^{y} ,dx = y,e^{y} \bigl[x\bigr]_{-y}^{y} = y,e^{y},(2y) = 2y{2}e{y}.
$$
Passo 4
Portanto a integral reduz a
Passo 5
Para calcular
usamos integração por partes duas vezes ou a fórmula conhecida
Logo
$$\int_{0}{1}2y{2}e^{y}dy = 2\bigl[e{y}(y{2}-2y+2)\bigr]_{0}^{1}
= 2\bigl[e(1-2+2) - (1\cdot2)\bigr]
= 2(e-2).$$