Calcule as integrais triplas:
integralOmega e^y d V
Omega é a região limitada pelos planos y=1, z=0, y=x, y=-x e z=y.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla integralOmega e^y,dV, onde Omega é a região limitada pelos planos y=1, z=0, y=x, y=-x e z=y. O assunto é integração múltipla e vamos precisar usar a descrição de Omega em coordenadas cartesianas e depois executar a integral iterada.

Passo 2

Para descrever Omega, observe que de z=0 até z=y exige y>=0. Como há o plano y=1, temos 0<= y<=1. Nos planos y=x e y=-x, para cada y fixo x varia de -y até y. Assim
Mais formalmente montamos a integral iterada:

Passo 3

Como e^y não depende de x nem de z), integramos primeiro em z e x:
$$\int_{x=-y}^{y} y,e^{y} ,dx = y,e^{y} \bigl[x\bigr]_{-y}^{y} = y,e^{y},(2y) = 2y{2}e{y}.
$$

Passo 4

Portanto a integral reduz a
integral0^1 2y^2e^y,dy

Passo 5

Para calcular integral y^2e^ydy usamos integração por partes duas vezes ou a fórmula conhecida
integral y^2e^ydy = e^y(y^2-2y+2) + C
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$$\int_{0}{1}2y{2}e^{y}dy = 2\bigl[e{y}(y{2}-2y+2)\bigr]_{0}^{1}
= 2\bigl[e(1-2+2) - (1\cdot2)\bigr]
= 2(e-2).$$

Resposta

2(e-2)

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