Esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo e calcule sua transformada de Laplace:
f(t)=ll1 & , em (0,1) -1 & , em (1,2), f(t+2)=f(t)

Passo 1

Temos f(t) periódica de período T=2, definida por f(t)=1 em (0,1) e f(t)=-1 em (1,2). Para calcular a transformada de Laplace dessa função, vamos usar a teoria de funções periódicas.
O esboço no intervalo [0,2] é um retângulo de altura +1 de t=0 até t=1 e outro de altura -1 de t=1 até t=2; depois disso esse padrão se repete a cada 2 unidades de tempo.

Passo 2

A transformada de Laplace de uma função periódica de período T é dada por
Lf(s)=integral0^Tf(t)e^-st,dt1-e^-sT
Para T=2 isso vira
Lf(s)=integral0^2f(t)e^-st,dt1-e^-2s

Passo 3

Vamos calcular o integral no numerador:
integral0^2f(t)e^-st,dt=integral0^11cdot e^-st,dt+integral1^2(-1)cdot e^-st,dt
Para cada parte temos:
integral0^1e^-st,dt=1-e^-ss,
integral1^2(-e^-st),dt=e^-2s-e^-ss

Passo 4

Somando as duas parcelas obtemos
integral0^2f(t)e^-st,dt=1-e^-ss+e^-2s-e^-ss=(1-e^-s)^2s

Passo 5

Substituindo na fórmula geral:
Lf(s)=(1-e^-s)^2s1-e^-2s=(1-e^-s)^2s(1-e^-2s)

Passo 6

Como 1-e^-2s=(1-e^-s)(1+e^-s), simplificamos para
Lf(s)=1-e^-ss(1+e^-s)

Passo 7

Reconhecendo que tanh(tfracs2)=(1-e^-s)/(1+e^-s), chegamos à forma final.

Resposta

Lf(s)=tanh(tfracs2)s

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