Esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo e calcule sua transformada de Laplace:
Passo 1
Temos f(t) periódica de período T=2, definida por f(t)=1 em (0,1) e f(t)=-1 em (1,2). Para calcular a transformada de Laplace dessa função, vamos usar a teoria de funções periódicas.
O esboço no intervalo [0,2] é um retângulo de altura +1 de t=0 até t=1 e outro de altura -1 de t=1 até t=2; depois disso esse padrão se repete a cada 2 unidades de tempo.
O esboço no intervalo [0,2] é um retângulo de altura +1 de t=0 até t=1 e outro de altura -1 de t=1 até t=2; depois disso esse padrão se repete a cada 2 unidades de tempo.
Passo 2
A transformada de Laplace de uma função periódica de período T é dada por
Para T=2 isso vira
Passo 3
Vamos calcular o integral no numerador:
Para cada parte temos:
Passo 4
Somando as duas parcelas obtemos
Passo 5
Substituindo na fórmula geral:
Passo 6
Como
, simplificamos para
Passo 7
Reconhecendo que
, chegamos à forma final.