Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
y^prime prime+y=1-upi / 2(t), y(0)=0, y^prime(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial y'' + y = 1 - upi/2(t) com condições y(0)=0, y'(0)=1. Isso envolve ODEs forçadas por degrau unitário; vamos resolver em duas regiões (antes e depois de t=pi/2) e usar continuidade em t=pi/2.

Passo 2

Para 0 <= t < pi/2 o degrau ainda não „liga“, então a equação vira y'' + y = 1. A solução geral é soma da homogênea yh = C1cos t + C2sin t com a particular constante yp = 1. Logo
y1(t)=C1cos t + C2sin t + 1

Passo 3

Aplicando y(0)=0 C1 + 1 = 0 implies C1=-1. Diferenciando temos y1'(t)= -C1sin t + C2cos t e y1'(0)=C2=1. Assim
y1(t) = -cos t + sin t + 1, 0 <= t < pi2

Passo 4

Para t >= pi/2 o lado forçante vira zero e resolvemos y'' + y = 0 com y2(t)=Acos t + Bsin t. Impomos continuidade em t=pi/2:
y2l(tfracpi2r)=B = y1l(tfracpi2r)=2,

Passo 5

y2'(t) = -Asin t + Bcos t, y2'l(tfracpi2r) = -A = y1'l(tfracpi2r)=1 implies A = -1
Portanto
y2(t) = -cos t + 2sin t, t >= pi2

Resposta

[
y(t)= -cos t + sin t + 1, & 0 <= t < tfracpi2, -cos t + 2sin t, & t >= tfracpi2
]

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