Prove que:
Se
então
Se
Passo 1
A questão pede para provar que, se y = arcsen x, então y′ = 1/√(1–x²). O conteúdo envolvido é derivada de função inversa e usamos a regra da cadeia junto com identidades trigonométricas.
Passo 2
Como y = arcsen x é a função inversa de sen y, podemos escrever sen y = x. Isso nos dá uma relação algébrica entre y e x.
Passo 3
Diferenciando ambos os lados de sen y = x em relação a x e aplicando a regra da cadeia, temos cos y · (dy/dx) = 1. Ou seja,
Logo,
Passo 4
Para eliminar o cos y, usamos a identidade trigonométrica cos² y + sen² y = 1. Como sen y = x, temos
e no intervalo principal de arcsen (–π/2 ≤ y ≤ π/2), cos y é não negativa, então
Passo 5
Substituindo em dy/dx = 1/cos y, obtemos imediatamente