Prove que:
Se então

Passo 1

A questão pede para provar que, se y = arcsen x, então y′ = 1/√(1–x²). O conteúdo envolvido é derivada de função inversa e usamos a regra da cadeia junto com identidades trigonométricas.

Passo 2

Como y = arcsen x é a função inversa de sen y, podemos escrever sen y = x. Isso nos dá uma relação algébrica entre y e x.

Passo 3

Diferenciando ambos os lados de sen y = x em relação a x e aplicando a regra da cadeia, temos cos y · (dy/dx) = 1. Ou seja,
cos y ;dydx = 1
Logo,
dydx = 1cos y

Passo 4

Para eliminar o cos y, usamos a identidade trigonométrica cos² y + sen² y = 1. Como sen y = x, temos
cos^2 y = 1 - x^2,
e no intervalo principal de arcsen (–π/2 ≤ y ≤ π/2), cos y é não negativa, então
cos y = raiz1 - x^2

Passo 5

Substituindo em dy/dx = 1/cos y, obtemos imediatamente
dydx = 1raiz1 - x^2

Resposta

y' = 1raiz1 - x^2

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