Calcule as integrais triplas a seguir:
integral2^3 integral0^3 y integral1^y z(2 x+y+z) d x d z d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
integraly=2^3 integralz=0^3y integralx=1^yz (2x + y + z) , dx , dz , dy
Isso envolve técnicas de integrais iteradas: primeiro em x, depois em z e por fim em y.

Passo 2

Vamos integrar primeiro em x:
integral1^yz (2x + y + z) , dx
Usando linearidade e as antiderivadas integral 2x,dx = x^2 e integral (y+z),dx = (y+z)x, temos
integral1^yz(2x+y+z),dx = l[x^2+(y+z)xr]1^yz = y^2z^2 + y^2z + yz^2 - 1 - y - z

Passo 3

Agora integramos em z de 0 a 3y o resultado anterior:
integral0^3yl(y^2z^2 + y^2z + yz^2 -1 -y -zr)dz
Aplicando integral z^n dz = z^n+1/(n+1) em cada termo, obtemos
l[y^2z^33 + y^2z^22 + yz^33 - z - yz - z^22r]0^3y = 9y^5 + 272y^4 - 152y^2 - 3y

Passo 4

Em seguida, integramos em y de 2 a 3 o polinômio
9y^5 + tfrac272y^4 - tfrac152y^2 - 3y
Usando integral y^n dy = y^n+1/(n+1), a primitiva é
F(y) = 32y^6 + 2710y^5 - 52y^3 - 32y^2

Passo 5

Por fim, avaliamos em y=3 e y=2:
F(3) = 83435, F(2) = 7825

Resposta

(\frac{7561}{5})

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