Calcule as integrais triplas usando coordenadas cilíndricas:
integralOmega raizx^2+y^2 d V
Omega é a região limitada superiormente pelo plano y+z=4, inferiormente pelo plano z=0 e lateralmente pelo cilindro x^2+y^2=16.

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral tripla\n\n integralOmega raizx^2+y^2,dV, onde Omega é a região limitada superiormente por y+z=4, inferiormente por z=0 e lateralmente pelo cilindro x^2+y^2=16.\n\nConteúdo: integrais triplas em coordenadas cilíndricas. Vamos precisar da conversão de coordenadas e da expressão do jacobiano.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas definimos:
x = rcostheta, y = rsintheta, z = z, dV = r,dr,dtheta,dz
A região Omega ficou descrita por:
  • Ângulo: 0 <= theta <= 2pi
  • Raio: 0 <= r <= 4 (do cilindro r=4)
  • Altura: de z=0 até z = 4 - y = 4 - rsintheta

Passo 3

Montamos a integral tripla em ordem dz,dr,dtheta:
integraltheta=0^2pi integralr=0^4 integralz=0^4 - rsintheta (raizx^2+y^2),dV = integral0^2pi integral0^4 integral0^4 - rsintheta r cdot r,dz,dr,dtheta = integral0^2pi integral0^4 integral0^4 - rsintheta r^2,dz,dr,dtheta

Passo 4

Primeiro integramos em z:
integral0^4 - rsintheta r^2,dz = r^2l(4 - rsinthetar)
Depois em r:
integral0^4 r^2(4 - rsintheta),dr = 4 integral0^4 r^2,dr - sintheta integral0^4 r^3,dr = 4 cdot 4^33 - sintheta cdot 4^44 = 2563 - 64sintheta

Passo 5

Por fim, integramos em theta:
integral0^2pi l(tfrac2563 - 64sinthetar),dtheta = 2563 cdot 2pi - 64 integral0^2pi sintheta,dtheta = 512pi3 - 64l[-costhetar]0^2pi = 512pi3

Resposta

O valor da integral é 512pi3.

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